7.4.1 二项分布(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦二项分布核心知识点，先通过问题引导理解n重伯努利试验的概念及特征，再构建二项分布的概念与分布列，最后延伸至均值与方差的计算，形成从基础概念到应用的完整学习支架。 资料以问题驱动探究，通过掷硬币、射击等实例培养数学抽象与建模能力，例题训练结合招聘测试、种子发芽等情境提升数学运算素养。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生梳理知识清单，强化练习以查漏补缺。

7.4.1　二项分布 课标要求 1.通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念（数学抽象）. 2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 知识点一｜n重伯努利试验的概念 问题1　 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验. （1）试想每次试验的前提是什么？每次试验结果有几种？ （2）各次试验的结果有无影响？ 【知识梳理】 1.伯努利试验：只包含　　　　可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的　　　　　　称为n重伯努利试验. 3.n重伯努利试验的共同特征 （1）同一个伯努利试验重复做　　　次； （2）各次试验的结果相互　　　. 　　提醒：（1）在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验；（2）“重复”意味着各次试验成功的概率相同. 【例1】　判断下列试验是不是n重伯努利试验： （1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； （3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球. 【规律方法】 n重伯努利试验的判断依据 （1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行； （2）每次试验相互独立，互不影响； （3）每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生. 训练1　下列事件是n重伯努利试验的是（　　） A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 知识点二｜二项分布的概念及表示 问题2　（1）连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？ （2）类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k（k＝0，1，2，3）次针尖向上的概率是多少？有什么规律？ 【知识梳理】 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk（1－p，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　　　　. 　　提醒：（1）由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1；（2）两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布. 【例2】　（链接教材P74例2）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是. （1）求甲被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列. 【规律方法】 1.判定一个随机变量是否服从二项分布，要看两点. （1）试验是否为n重伯努利试验； （2）随机变量是否为某事件在这n重伯努利试验中发生的次数. 2.若X～B（n，p），要弄清试验次数n与成功概率p.对于公式P（X＝k）＝pk（1－p）n－k（k＝0，1，2，3，…，n），必须在满足“独立重复试验”时才能应用. 训练2　已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； （2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率. 知识点三｜二项分布的均值与方差 问题3　若随机变量X服从二项分布B（n，p），那么X的均值和方差各是什么？ 【知识梳理】 如果X～B（n，p），那么E（X）＝　　　　，D（X）＝　　　　. 特别地，若X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝　　　　. 【例3】　（1）随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（2X－1）＝（　　） A.64　　　　　　　　 B.128 C.256 D.32 （2）一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为　　　　　，方差为　　　　. 【规律方法】 求二项分布的均值和方差的步骤 （1）先判断随机变量是否服从二项分布； （2）若服从二项分布，则代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差，即若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.特别地，当n＝1时，X服从两点分布. 训练3　将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，. （1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； （2）在容器的入口处依次放入4个小球，记ζ为落入B袋中的小球的个数，求ζ的分布列、均值和方差. 1.若随机变量X～B（ 5，），则P（X＝2）＝（　　） A.（ ）2×（ ）3　　　 B.（ ）2×（ ）3 C.×（ ）2×（ ）3 D.×（ ）2×（ ）3 2.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（　　） A.×（ ）3×　　B.×（ ）2× C.×（ ）3× D.×（ ）3×3.已知随机变量X服从二项分布B（n，p）.若E（X）＝2，D（X）＝，则p＝　　　　. 4.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为　　　　.（用数字作答） 课堂小结 1.理清单 （1）n重伯努利试验的概念及特征； （2）二项分布的概念及表示； （3）二项分布的均值与方差. 2.应体会 求解n重伯努利试验的概率及二项分布问题常采用公式法. 3.避易错 二项分布的判断错误. 提示：完成课后作业　第七章　7.4　7.4.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 【例1】　解：（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验. （2）某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验. （3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验. 训练1　D　选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验. 【例2】　解：（1）通过两个项目测试的概率为（ ）2×＝， 通过三个项目测试的概率为（ ）3＝， 则甲被录用的概率为＋＝. （2）因为甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，由（1）可知甲、乙、丙三人每个人被录用的概率都是，所以X～B（ 3，）. 所以P（X＝0）＝（ ）3＝， P（X＝1）＝（ ）1×（ ）2＝， P（X＝2）＝（ ）2×＝， P（X＝3）＝（ ）3＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 训练2　解：（1）由题意得，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，则X～B（ 3，）， 则P（X＝0）＝（ ）0（ 1－）3＝， P（X＝1）＝（ ）1（ 1－）2＝， P（X＝2）＝（ ）2（ 1－）1＝， P（X＝3）＝（ ）3（ 1－）0＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的. 故所求概率p＝（ ）3×（ 1－）3×＝. 【例3】　（1）A　（2）60　96 解析：（1）E（X）＝100p＝20，解得p＝0.2，D（X）＝np（1－p）＝100×0.2×（1－0.2）＝16，D（2X－1）＝4D（X）＝64. （2）设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X.由题知X～B（25，0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15，D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60，D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96.所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 训练3　解：（1）设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”， 则P（M）＝××＋××＝， 所以P（N）＝1－P（M）＝1－＝. （2）易知ζ～B（ 4，）， 则ζ的分布列为 P（ζ＝k）＝（ ）k（ ）4－k（k＝0，1，2，3，4），故P（ζ＝0）＝，P（ζ＝1）＝， P（ζ＝2）＝＝，P（ζ＝3）＝， P（ζ＝4）＝. 故ζ的分布列为 ζ 0 1 2 3 4 P E（ζ）＝4×＝，D（ζ）＝4××＝. 随堂检测 1.D　∵随机变量X～B（ 5，），∴P（X＝2）＝×（ ）2×（ ）3. 2.A　甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为P＝×（ ）2××＝×（ ）3×.故选A. 3.　解析：∵X服从二项分布B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝，∴解得p＝. 4.0.947 7　解析：至少3人被治愈的概率为×0.93×0.1＋0.94＝0.947 7. 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 问题1　（1）提示：条件相同下的试验，每次试验只有两种可能结果：正面朝上或反面朝上. （2）提示：无影响，各次试验的结果相互独立. 知识梳理 1.两个 2.随机试验 3.（1）n　（2）独立 问题2　（1）提示：连续投掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai（i＝1，2，3）表示“第i次掷得针尖向上”的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝（A1）∪（A2）∪（A3）.由此可得P（B1）＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p. （2）提示：用Ai（i＝1，2，3）表示事件“第i次掷得针尖向上”， 用Bk（k＝0，1，2，3）表示事件“出现k次针尖向上”， P（B0）＝P（）＝q3＝p0q3， P（B1）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝3q2p＝p1q2， P（B2）＝P（A1A2）＋P（A2A3）＋P（A1A3）＝3qp2＝p2q1， P（B3）＝P（A1A2A3）＝p3＝p3q0， 规律：P（Bk）＝pk，k＝0，1，2，3. 知识梳理 X～B（n，p） 问题3　提示：当n＝1时，X服从两点分布，分布列为 X 0 1 P 1－p p 则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）. 一般地，设q＝1－p，则二项分布的分布列为 X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0 则E（X）＝0×p0qn＋1×p1qn－1＋2×p2qn－2＋…＋kpkqn－k＋…＋npnq0， 由k＝n， 可得E（X）＝n×p1qn－1＋n×p2qn－2＋…＋npkqn－k＋…＋npnq0＝np（p0qn－1＋p1qn－2＋…＋pk－1qn－k＋…＋pn－1q0）＝np（p＋q）n－1＝np， 同理可得D（X）＝np（1－p）. 知识梳理 np　np（1－p）　p（1－p） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $