7.2 第2课时 离散型随机变量的分布列(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的分布列这一核心知识点，从掷骰子等具体实例入手抽象出分布列定义，系统梳理其表格表示方法及非负性、概率和为1的性质，延伸至两点分布，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题驱动引导数学抽象，结合趣味拉练、名著连线等生活实例培养数学建模能力，通过例题与训练题强化数学运算。课中助力教师引导学生理解概念，课后可帮助学生回顾性质应用，有效查漏补缺。

第二课时　离散型随机变量的分布列 【例1】　解：（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则P（M）＝＝， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为. （2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝， P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝， P（X＝8）＝＝，P（X＝9）＝＝. 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 训练1　解：（1）由题意，该选手的得分不少于6分，则该选手的得分为6分或12分， 可得P（X＝6）＝＝，P（X＝12）＝＝， 所以该选手得分不少于6分的概率为P＝P（X＝6）＋P（X＝12）＝＋＝. （2）根据题意，可得随机变量X的可能取值为0，3，6，12， 则P（X＝3）＝＝，P（X＝0）＝1－－＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 3 6 12 P 【例2】　解：（1）依题意，X服从两点分布，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 P （2）由题意知，P（η＝0）＝＝， P（η＝1）＝＝， 所以η的分布列为 η 0 1 P 训练2　解：由题意知，X服从两点分布， P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 【例3】　解：（1）∵＋＋＋＝1， ∴a＝10， 则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＝. （2）由a＝10， 得P（ ＜X＜）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＋＝. 训练3　解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 ｜X－1｜ 1 0 1 2 3 从而由上表得： （1）2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （2）｜X－1｜的分布列为 ｜X－1｜ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 随堂检测 1.B　由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2. 2.D　设失败率为p，则成功率为2p，分布列如下， X 0 1 P p 2p 由p＋2p＝1，得p＝，所以P（X＝1）＝2p＝. 3.BCD　选项A中随机变量X的可能取值有6个，不服从两点分布. 4.　解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个，∴X的分布列如下， X 1 2 3 P ∴P（ ≤X≤）＝P（X＝1）＝. 第二课时　离散型随机变量的分布列 问题1　提示：X的取值为1，2，3，4，5，6. X 1 2 3 4 5 6 P 知识梳理 1.pi 2.（1）0　（2）1 问题2　提示：都只有两个结果. 知识梳理 1－p 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　离散型随机变量的分布列 课标要求 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列（数学抽象）. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质（数学抽象、数学运算）. 3.了解两点分布（数学抽象）. 知识点一｜离散型随机变量的分布列 问题1　掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 【知识梳理】 1.离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P（X＝xi）＝　　　，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2.离散型随机变量分布列的性质 （1）pi≥　　，i＝1，2，…，n； （2）p1＋p2＋…＋pn＝　　. 　　提醒：（1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和；（2）离散型随机变量的分布列的性质可以检查所写分布列是否正确. 【例1】　（链接教材P59例2、P60例3）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等. （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； （2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列. 【规律方法】 求离散型随机变量的分布列的关键 （1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏； （2）计算出每一个取值所对应的概率； （3）用所有概率之和是否为1来检验. 训练1　某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X. （1）求该选手得分不少于6分的概率； （2）求X的分布列. 知识点二｜两点分布 问题2　购买的彩票是否中奖、新生儿的性别、投篮是否命中这三个试验，其试验结果有什么共同特点？ 【知识梳理】 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P（A）＝p，则P（）＝　　　　，那么X的分布列如表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. 　　提醒：两点分布的特点：（1）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（2）由对立事件的概率可知P（X＝0）＋P（X＝1）＝1. 【例2】　（链接教材P59例1）一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球. （1）从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝求X的分布列； （2）从中任意摸出2个球， 设η＝求η的分布列. 【规律方法】 1.判断一个随机变量是否服从两点分布，只要看试验结果是否只有两个对应结果. 2.由对立事件的概率，P（X＝0）＋P（X＝1）＝1. 3.在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它. 训练2　已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列. 提能点｜分布列的性质及应用 【例3】　设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1，2，3，4），求： （1）P（X＝1或X＝2）； （2）P（ ＜X＜）. 【规律方法】 分布列的性质及其应用 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数； （2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 训练3　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：（1）2X＋1的分布列； （2）｜X－1｜的分布列. 1.某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－＝（　　） ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.－0.2　B.0.2 C.0.1　　D.－0.1 2.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P（X＝1）＝（　　） A.0 B. C. D. 3.〔多选〕下列问题中的随机变量服从两点分布的是（　　） A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D.抛掷一枚硬币，出现正面向上的次数为随机变量X 4.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P（ ≤X≤）＝　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）离散型随机变量的分布列； （2）两点分布； （3）离散型随机变量分布列的性质. 2.应体会 解决离散型随机变量的分布列及其性质问题要注意列举法及转化与化归思想的应用. 3.避易错 随机变量的取值不明确导致分布列求解错误. 提示：完成课后作业　第七章　7.2　第二课时 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $