7.1.2 全概率公式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦全概率公式核心知识点，从古典概型摸球问题切入，梳理全概率公式定义及与条件概率的推广关系，延伸至多个事件的全概率应用，再引入贝叶斯公式形成完整知识链，搭建从基础到进阶的学习支架。 该资料通过社区民意调查、流感患病概率等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，结合“化整为零”等规律方法培养数学思维，训练题设计兼顾课中教学与课后巩固，助力提升数学运算与逻辑推理能力，有效辅助教学与查漏补缺。

7.1.2　全概率公式 课标要求 1.结合古典概型，理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率（数学抽象、数学运算）. 2.了解贝叶斯公式，并会简单应用（数学抽象、数学运算）. 知识点一｜全概率公式 问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 【知识梳理】 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝　　　　　　.称为全概率公式. 　　提醒：全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2）＋…＋P（An）·P（B｜An）. 【例1】　（链接教材P50例4）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 【规律方法】 两个事件的全概率问题求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2（或A与）； （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； （3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）. 训练1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： （1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率； （2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 知识点二｜多个事件的全概率问题 【例2】　（链接教材P50例5）在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人. （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人来自A地区的概率. 变式　如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率. 【规律方法】 “化整为零”求多个事件的全概率问题 （1）如图，P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）； （2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 训练2　某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7.若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4∶4∶2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率. 提能点｜*贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P（B）＞0，有P（Ai｜B）＝＝，i＝1，2，…，n. 　　提醒：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率P（B｜A）＝乘法公式 P（AB）＝P（A）P（B｜A） 全概率公式 P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai） 贝叶斯公式 P（Ai｜B）＝，i＝1，2，…，n 【例3】　 （链接教材P51例6）甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率. 【规律方法】 应用贝叶斯公式求概率的步骤 （1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； （2）利用全概率公式求出P（B）； （3）代入贝叶斯公式求得概率. 训练3　8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支枪中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（　　） A. B. C. D. 1.已知P（BA）＝0.4，P（B）＝0.2，则P（B）＝（　　） A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（　　） A.0.21　　B.0.06 C.0.94　　D.0.95 3.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为　　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）全概率公式； （2）多个事件的全概率问题； （3）贝叶斯公式. 2.应体会 利用全概率公式解决实际问题时，要注意化整为零、转化与化归思想的应用. 3.避易错 事件拆分不合理或不全面. 提示：完成课后作业　第七章　7.1　7.1.2 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2　全概率公式 【例1】　解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P（A1）＝，P（A2）＝， 且P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝. 由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×＋×＝. 训练1　解：记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， （1）由题意，得P（A）＝＝， P（B）＝＝， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）·P（C｜B）＝×＋×＝. （2）P（A）＝＝， P（B）＝＝， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）·P（C｜B）＝×＋×＝. 【例2】　解：（1）设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，C，事件D为这个人患流感， 所以P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，P（C）＝0.2， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05， P（D｜C）＝0.04， 因此P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C） ＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051. （2）P（A｜D）＝＝＝＝. 变式　解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A，B，所以P（A）＝，P（B）＝， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05， P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＝×0.06＋×0.05＝. 训练2　解：设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品， 则依据已知可得P（A）＝P（B）＝＝0.4，P（C）＝0.2，P（D｜A）＝0.9，P（D｜B）＝0.8，P（D｜C）＝0.7， 由全概率公式得P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）·P（D｜B）＋P（C）P（D｜C）＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82， 所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82. 【例3】　解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出的球来自丙盒}，B＝{摸得白球}， 则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝， P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝，P（B｜A3）＝. 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P（A2｜B）＝＝＝. 训练3　B　设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则P（B1）＝，P（B2）＝，P（A｜B1）＝0.8，P（A｜B2）＝0.3.根据全概率公式得P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝×0.8＋×0.3＝，所以由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝＝＝.故选B. 随堂检测 1.C　P（B）＝P（BA）＋P（B）＝0.4＋0.2＝0.6. 2.D　令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×0.96＋×0.93＝0.95.故选D. 3.　解析：设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的2球恰有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式得P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）·P（A｜B2）＝·＋·＋·＝. 7.1.2　全概率公式 问题　提示：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导. 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如图所示. 事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2，利用概率的加法公式和乘法公式， 得P（R2）＝P（R1R2∪B1R2）＝P（R1R2）＋P（B1R2）＝P（R1）P（R2｜R1）＋P（B1）P（R2｜B1） ＝×＋×＝. 知识梳理 P（Ai）P（B｜Ai） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $