7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦条件概率的性质及应用核心知识点，在条件概率基本概念基础上，系统梳理概率乘法公式的推导与应用，以及互斥事件、对立事件的条件概率计算，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 该资料通过知识梳理强化数学抽象，结合电话号码试拨、摸球等实例训练数学运算，规律方法总结助学生形成解题逻辑。课中助力教师高效授课，课后作业与课堂小结帮助学生查漏补缺，提升用数学思维解决实际问题的能力。

第二课时　条件概率的性质及应用 课标要求 1.掌握概率的乘法公式，并能解决简单的实际问题（数学抽象、数学运算）. 2.理解条件概率的性质，能用性质计算互斥（对立）事件的条件概率（数学抽象、数学运算）. 知识点一｜概率的乘法公式 【知识梳理】 对任意两个事件A与B，若P（A）＞0，则P（AB）＝　　　　. 　　提醒：（1）在P（B｜A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB）中，样本空间为所有事件的总和；（2）推广：设A，B，C为三个事件，且P（AB）＞0，则有P（ABC）＝P（C｜AB）P（AB）＝P（C｜AB）P（B｜A）·P（A）. 【例1】　（1）某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（　　） A. B. C. D. （2）已知某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，则该产品的一等品率是　　　　. 【规律方法】 应用乘法公式求概率的一般步骤 概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直接计算P（AB）时，则可按下列步骤求“积事件”的概率： （1）首先判断事件A与事件B，是否有P（A）＞0或P（B）＞0； （2）根据已知条件表示出相应事件的概率P（A）、P（B｜A）或P（B）、P（A｜B）； （3）代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）或P（AB）＝P（B）P（A｜B）求解. 训练1　（1）气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（　　） A. B. C. D. （2）盒中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为　　　　　. 知识点二｜互斥事件的条件概率 问题　先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记A表示“第一枚出现4点”，B表示“第二枚出现5点”，C表示“第二枚出现6点”. （1）P（B｜A） 与 P（C｜A）各为何值？ （2）若已知第一枚出现4点，则第二枚出现大于4点的概率是多少？ （3）根据前面的计算，你能有什么发现？ 【知识梳理】 设P（A）＞0，则 （1）P（Ω｜A）＝　　　； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝　　　　　　； （3）设和B互为对立事件，则P（｜A）＝　　　. 　　提醒：A与B互斥，即A，B不同时发生，则P（AB）＝0，故P（B｜A）＝0. 【例2】　（链接教材P48例3）在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 【规律方法】 1.利用公式P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）求条件概率，应注意这个性质使用的前提是“B与C互斥”. 2.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，再用加法公式. 训练2　（1）设A，B是两个随机事件，已知0＜P（A）＜1，P（B）＞0且P（B｜A）＝P（B｜），则下列结论中一定成立的是（　　） A.P（A｜B）＝P（｜B） B.P（A｜B）≠P（｜B） C.P（AB）＝P（A）P（B） D.P（AB）≠P（A）P（B） （2）某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为　　　　. 提能点｜与条件概率公式有关的证明问题 【例3】　当0＜P（A）＜1时，求证：P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜）＝P（B）. 【规律方法】 利用事件A与事件B相互独立的定义P（AB）＝P（A）P（B）及条件概率的性质进行转化变形、推理论证，这里要注意互斥事件、对立事件及相互独立事件的区别. 训练3　已知与的比值为R.证明：R＝·. 1.已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（　　） A. B. C. D. 2.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，发出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（　　） A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72 3.已知事件A和B是互斥事件，P（C）＝，P（BC）＝，P（A∪B｜C）＝，则P（A｜C）＝　　　　. 4.袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，依次不放回抽取2次，每次抽取一球，则第二次才能取到黄球的概率为　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）概率的乘法公式； （2）互斥事件、对立事件的条件概率. 2.应体会 利用条件概率的性质解决问题时要注意正难则反思想的应用. 3.避易错 判断两个事件是否是互斥事件. 提示：完成课后作业　第七章　7.1　7.1.1　第二课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　条件概率的性质及应用 【例1】　（1）A　（2）72%　解析：（1）记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝，P（B｜A）＝，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝.故选A. （2）记A：合格品， 记B：一等品，由于B⊆A，则P（B）＝P（AB），由题意，P（A）＝1－4%＝96%，P（B｜A）＝75%，故P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝96%×75%＝72%，即该产品的一等品率为72%. 训练1　（1）B　（2）　解析：（1）设“该地区七月份刮台风”为事件A，“该地区七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P（A）＝，P（B｜A）＝，由概率的乘法公式得P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝×＝.故选B. （2）没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”，记事件R1表示第一次取到红球，R2表示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球，则P（R1）＝，P（G1R2）＝P（G1）P（R2｜G1）＝×＝，∴没有取到黄球的概率为P＝＋＝. 【例2】　解：法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P（A）＝，P（AB）＝＝，P（AC）＝＝. ∴P（B｜A）＝＝＝， P（C｜A）＝＝＝. ∴P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝＋＝. ∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为. 法二　∵n（A）＝1×＝9， n（B∪C｜A）＝＋＝5， ∴P（B∪C｜A）＝＝. ∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为. 训练2　（1）C　（2）　解析：（1）因为P（B｜A）＝P（B｜），由条件概率公式可得＝，即P（AB）[1－P（A）]＝P（A）P（B）＝P（A）[P（B）－P（AB）]，所以P（AB）＝P（A）P（B），故选C. （2）设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”，事件C为“周六晚上值班”，则P（A）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，所以P（B｜A）＝＝，P（C｜A）＝＝，故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝. 【例3】　证明：①必要性： 若P（B｜A）＝P（B），则＝P（B）， 即P（AB）＝P（A）P（B）. 又因为B＝B＋AB，所以P（B）＝P（B）＋P（AB），　 所以P（B｜）＝＝＝＝＝P（B）. ②充分性： 若P（B｜）＝P（B），则＝P（B）， 即P（B）＝P（）P（B）， 由P（B）＝P（B）＋P（AB），得P（B）＝P（B）－P（AB）， 故P（B）－P（AB）＝[1－P（A）]P（B）， 所以P（AB）＝P（A）P（B）， 所以P（A）P（B｜A）＝P（A）P（B）， P（A）≠0， 所以P（B｜A）＝P（B）. 由①②可知，P（B｜A）＝P（B）的充要条件是P（B｜）＝P（B）. 训练3　证明：因为R＝·＝···＝·， 所以R＝···， 所以R＝·. 随堂检测 1.C　P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝. 2.D　记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，P（B｜A）＝，∴P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.9×0.8＝0.72. 3.　解析：由题意知，P（A∪B｜C）＝P（A｜C）＋P（B｜C）＝，P（B｜C）＝＝＝，则P（A｜C）＝P（A∪B｜C）－P（B｜C）＝－＝. 4.　解析：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P（C）＝P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝×＝. 第二课时　条件概率的性质及应用 知识梳理 P（A）P（B｜A） 问题　（1）提示：P（B｜A）＝，P（C｜A）＝. （2）提示：P（B∪C｜A）＝＝. （3）提示：若B与C互斥，则P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）. 知识梳理 （1）1　（2）P（B｜A）＋P（C｜A）　（3）1－P（B｜A） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $