7.1.1 第1课时 条件概率的概念与计算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学条件概率的概念与计算核心知识点，从古典概型实例（如抛硬币两次）引入，通过问题链建立条件概率概念，系统梳理定义计算法与缩小样本空间法，衔接事件独立性判断，构建完整知识支架。 资料以问题驱动情境化设计为特色，结合抽奖、节目抽取等生活实例，通过概念辨析（如P(B|A)与P(AB)区别）和步骤总结培养数学抽象与数学运算素养。课中规律方法助教师高效授课，课后小结与作业帮助学生巩固，查漏补缺。

7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 第一课时　条件概率的概念与计算 【例1】　解：（1）由于求高一的女生获得冠军的概率是在一名女生获得冠军的条件下求出的概率，所以所求概率是条件概率. （2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概型概率，所以掷出的点数为3的概率不是条件概率. （3）由于求抽到梅花5的概率是在抽到梅花的条件下求出的概率，所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率. 训练1　B　由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A、C、D中的不是条件概率.故选B. 【例2】　解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. （1）从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n（Ω）＝＝30， 由分步乘法计数原理，n（A）＝＝20， 所以P（A）＝＝＝. （2）因为n（AB）＝＝12， 所以P（AB）＝＝＝. （3）法一　由（1）（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P（B｜A）＝＝＝. 法二　因为n（AB）＝12，n（A）＝20， 所以P（B｜A）＝＝＝. 变式　解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. 法一　易知P（A）＝，P（AC）＝＝＝， ∴P（C｜A）＝＝. 法二　∵n（A）＝＝20，n（AC）＝＝8， ∴P（C｜A）＝＝＝. 训练2　（1）B　（2）C　解析：（1）由已知得P（A）＝，P（AB）＝＝，故P（B｜A）＝＝＝.故选B. （2）根据古典概型的概率公式P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（B｜A）＝＝. 【例3】　解：（1）P（A）＝＝，P（B）＝＋＝，P（AB）＝＝， P（A｜B）＝＝×＝. （2）法一　∵P（A｜B）＝≠P（A）， ∴事件A与B不相互独立. 法二　∵P（AB）＝≠P（A）P（B）， ∴事件A与B不相互独立. 训练3　B　由A与B相互独立，知P（AB）＝P（A）·P（B）.∴P（A｜B）＝＝＝P（A）＝0.8. 随堂检测 1.A　由条件概率的公式P（B｜A）＝，得0.8＝，解得P（A）＝0.75. 2.C　由题意知，事件A包含的样本点是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9个，在A发生的条件下，事件B包含的样本点是（1，3），（3，1），共2个，所以P（B｜A）＝. 3.B　法一　设取到的球是蓝球为事件A，取到的球是E型玻璃球为事件B，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B｜A）＝＝＝. 法二　设取到的球是蓝球为事件A，取到的球是E型玻璃球为事件B，∵n（A）＝7＋4＝11，n（AB）＝4，∴P（B｜A）＝＝.故取到的是蓝球，该球是E型玻璃球的概率是. 4.0.75　解析：记事件A为活到60岁，事件B为活到65岁，则P（A）＝0.8，P（AB）＝0.6，所以P（B｜A）＝＝＝0.75. 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 第一课时　条件概率的概念与计算 问题1　（1）提示：B＝{正正}，故P（B）＝. （2）提示：将第一次出现正面向上的事件记为A，则A＝{正正，正反}，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为. （3）提示：不一样，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率相当于以A为样本空间，积事件AB发生的概率，两者的样本空间发生了变化，其概率是不一样的. 知识梳理 问题2　提示：①若P（B｜A）＝P（B），且P（A）＞0，则P（B）＝P（B｜A）＝，则P（AB）＝P（A）·P（B），∴事件A与B相互独立； ②若A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）·P（B）， ∴P（B｜A）＝＝＝P（B）. 因此若P（A）＞0时，当且仅当A与B相互独立，有P（B｜A）＝P（B）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　条件概率的概念与计算 课标要求 1.结合古典概型，了解条件概率的概念（数学抽象、数学运算）. 2.能计算简单随机事件的条件概率（数学抽象、数学运算）. 知识点一｜条件概率的概念 问题1　抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}. （1）两次都是正面向上的事件记为B，P（B）是多少？ （2）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ （3）以上两个事件的概率一样吗？为什么？ 【知识梳理】 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝　　　　为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 　　提醒：（1）P（B｜A）与P（A｜B）意义不同，由条件概率的定义可知P（B｜A）表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概率；而P（A｜B）表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率；（2）P（B｜A）与P（AB），P（A）三者互不相同，P（B｜A）是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A与B同时发生的概率，P（A）是事件A的概率，P（B｜A）与P（B）不一定相等. 【例1】　判断下列几种概率哪些是条件概率？ （1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； （2）掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； （3）在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率. 【规律方法】 条件概率概念的理解 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的. 训练1　下面几种概率是条件概率的是（　　） A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投中的概率 C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 知识点二｜随机事件的条件概率 【例2】　（链接教材P46例1）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率； （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； （3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 变式　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率. 【规律方法】 1.利用定义计算条件概率的步骤 （1）分别计算概率P（AB）和P（A）； （2）将它们相除得到条件概率P（B｜A）＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生. 2.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 （1）缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. （2）数：数出A中事件AB所包含的样本点. （3）算：利用古典概型求P（B｜A）＝，n（AB）与n（A）是缩小样本空间的计数. 训练2　（1）学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”“星期二”“星期三”“星期四”“星期五”，分别对应得分：1，2，3，4，5.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件A＝“第一次得分5”，事件B＝“第二次得分5”，则P（B｜A）＝（　　） A.　　　　　　　　 B. C. D. （2）现从3名男医生和4名女医生中任选两人加入医疗队，用事件A表示“选中的两名医生性别相同”，事件B表示“选中的两名医生都是女医生”，则P（B｜A）＝（　　） A. B. C. D. 知识点三｜事件的独立性与条件概率 问题2　如果P（B｜A）＝P（B），且P（A）＞0，那么事件A与B是否相互独立？ 【例3】　盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中不放回地各抽取1张，记“甲中奖”为事件A，“乙中奖”为事件B. （1）求P（A），P（B），P（AB），P（A｜B）； （2）事件A与B是否相互独立，说明理由. 【规律方法】 判断两个事件是否独立的方法 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响； （2）定义法：当P（AB）＝P（A）P（B）时，事件A，B相互独立； （3）条件概率法：当P（A）＞0时，可用P（B｜A）＝P（B）判断. 训练3　已知事件A，B相互独立，且P（A）＝0.8，则P（A｜B）＝（　　） A.0.2 B.0.8 C.0.16 D.0.25 1.已知P（AB）＝0.6，P（B｜A）＝0.8，则P（A）＝（　　） A.0.75 B.0.6 C.0.48 D.0.2 2.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为奇数”，B＝“两次的点数之和为4”，则P（B｜A）＝（　　） A. B. C. D. 3.盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球.E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，则该球是E型玻璃球的概率为（　　） A. B. C. D. 4.已知某种动物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）条件概率的概念； （2）随机事件的条件概率； （3）事件的独立性与条件概率. 2.应体会 解决条件概率问题的常用方法有：定义法、缩小样本空间法、正难则反等. 3.避易错 分不清在“谁的条件”下，求“谁的概率”. 提示：完成课后作业　第七章　7.1　7.1.1　第一课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $