7.1.1 条件概率 导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

高二年级 2025年4月 7.1.1 条件概率 【学习目标】 1.结合古典概型,了解条件概率的概念； 2.掌握求条件概率的两种方法； 3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法. 【学习过程】 【任务一】探究新知 在必修二《概率》一章的学习中，我们已经知道，对于同一试验中的两个事件A与B， 当事件A与B相互独立时，事件A与B同时发生的概率有 ，事件A发生与否 影响事件B发生的概率. 思考：那么，当事件A与B不相互独立时，如何表示事件A与B同时发生(即积事件AB)的概率呢？ 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示． 单位：人 表7.1-1 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表． （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 总结：在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 ________________________ 这个结论对于一般的古典概型仍然成立．事实上，如图7.1-1所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间．此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即 ． 因为 ， 所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过_____________来计算． 【任务二】概念理解 定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称 _________________(conditional probability)． 思考1：如何判断条件概率? 思考2：P(B|A)与P(A|B)的区别是什么? 探究：在问题1和问题2中，都有．一般地，与不一定相等．如果与相等，那么事件A与B应满足什么条件? 探究：对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？ 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则 ． 我们称上式为概率的 (multiplication formula)． 【任务三】典例解析 例 1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 总结：求条件概率有两种方法： 法一： ：一种是基于样本空间，先计算和，再利用条件概率公式求； 法二： ：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求就是以A为样本空间计算AB的概率． 条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 （1） ； （2）如果B和C是两个互斥事件，则 ； （3）设和B互为对立事件，则 ． 例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $