6.2.3 6.2.4 第2课时 组合的综合应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦组合的综合应用，系统梳理有限制条件的组合问题（含“至少”“至多”类）、与几何图形相关的组合问题（如三角形、四边形构成）、分组与分配问题（均匀分组、非均匀分组及分配），并融入相同元素分配的隔板法，构建从基础到综合的学习支架。 资料以数学建模和数学运算为核心，通过“例题-变式-规律方法-训练题”的设计，引导学生用数学思维分析实际问题，如课外活动小组选法、几何图形顶点组合等实例，培养抽象能力与逻辑推理。课中助力教师分层教学，课后通过练习题与课堂小结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二课时　组合的综合应用 课标要求 1.能用组合知识求解具有限制条件的组合问题（数学建模、数学运算）. 2.能用排列与组合解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 知识点一｜有限制条件的组合问题 【例1】　（链接教材P25例7）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）至少有一名队长当选； （2）至多有两名女生当选； （3）既要有队长，又要有女生当选. 变式　在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 【规律方法】 有限制条件的组合问题主要有两类 （1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； （2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 训练1　某医院有内科医生10名，外科医生4名，现选派4名参加某援助医疗队，其中： （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ （2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 知识点二｜与几何有关的组合问题 【例2】　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. （1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ （2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 【规律方法】 解答几何图形组合问题的策略 （1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强； （2）解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可； （3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数. 训练2　空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（　　） A.205 B.110 C.204 D.200 知识点三｜组合中的分组、分配问题 【例3】　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分为三份，每份两本； （3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本. 【规律方法】 分组、分配问题的求解策略 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. （2）分配问题属于“排列”问题.可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 训练3　将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. （1）有多少种放法？ （2）每盒至多1个球，有多少种放法？ （3）恰好有1个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 用隔板法解相同元素的分配问题 1.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？ 2.将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有　　　　种（用数字作答）. 3.从4个班中选出7位同学组成体育啦啦队，每班至少1位同学，则不同的名额分配方案共有　　　　种（用数字作答）. 【问题探究】 上述三个问题可归结为以下两个问题： 1.把n个相同的小球放入m个不同的盒子中（n≥m≥1），要求每个盒子非空，有多少种不同放法？ 2.将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，可以有空盒的不同放法有多少种？ 【规律方法】 相同元素的分配问题用“隔板法” “隔板法”的解题步骤：①定个数，确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量；②定空位，将元素排成一列，确定可插隔板的空位数；③插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数. 【迁移应用】 将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数. （1）每个盒子都不空； （2）恰有1个盒子空； （3）恰有2个盒子空. 1.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有（　　） A.27种 B.24种 C.21种 D.18种 2.在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为（　　） A.6　　　B.12 C.18　　　D.24 3.把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有（　　） A.80种 B.120种 C.140种 D.50种 4.在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行. （1）它们共能构成　　　　个平行四边形； （2）共有　　　　个交点. 课堂小结 1.理清单 （1）有限制条件的组合问题； （2）与几何有关的组合问题； （3）组合中的分组、分配问题. 2.应体会 解决组合的综合应用问题要注意间接法的应用. 3.避易错 解决分组、分配问题时易忽视均匀分组. 提示：完成课后作业 第六章 6.2 6.2.3 6.2.4 第二课时 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　组合的综合应用 【例1】　解：（1）法一　至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有·＋·＝825（种）. 法二　采用排除法有－＝825（种）. （2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有·＋·＋＝966（种）. （3）分两种情况：第一类，女队长当选，有种； 第二类，女队长不当选，则男队长当选，有·＋·＋·＋种. 故共有＋·＋·＋·＋＝790（种）. 变式　解：分两类情况：第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有＝462（种）选法. 第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：＋＝660（种）选法. 所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）. 训练1　解：（1）只需从剩余的12人中选2人， 共有＝66（种）. （2）法一（直接法）　至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分三类： 一内三外；二内二外；三内一外， 所以共有＋＋＝790（种）. 法二（间接法）　由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数，得－（＋）＝790（种）. 【例2】　解：（1）法一　可作出三角形＋·＋·＝116（个）. 其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36（个）. 法二　可作三角形－＝116（个）， 其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36（个）. （2）可作出四边形＋·＋·＝360（个）. 训练2　A　法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为＋＋＋＝205. 法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为－＝205. 【例3】　解：（1）根据分步乘法计数原理得有＝90（种）. （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步乘法计数原理可得＝x，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法. （3）这是“不均匀分组”问题，一共有＝60（种）方法. （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有·＝360（种）方法. 训练3　解：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（种）放法. （2）这是全排列问题，共有＝24（种）放法. （3）法一　先将4个小球分为3组，有种放法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，故共有·＝144（种）放法. 法二　先取4个球中的2个“捆”在一起，有种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有＝144（种）放法. （4）1个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知，其余3个球的投放方法有2种，故共有2＝8（种）. 教材挖掘 1.提示：165 2.提示：84 3.提示：20 问题探究 1.提示：先将n个小球排成一列，然后在它们之间形成的（n－1）个空（不含两端的）中插入（m－1）块隔板，便将n个小球分割成m组，每组至少有1个小球，这m组小球依次放入m个不同的盒子，（m－1）块隔板的一种插法就对应了n个相同小球投入m个不同盒子的一种放法，故不同的放法共有种. 2.提示：法一　将m个盒子排成一排（并在一起的两盒子的外壁视为一块隔板），除去两端的盒子的外壁，共有（m－1）块隔板；再把n个相同的小球投放到m个不同的盒子中，不同的放法对应着n个球和（m－1）块隔板的不同排法，于是问题转化为从（n＋m－1）个位置中选出n个位置放球，共有不同放法＝种. 法二　“将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，允许有空盒子”的放法种数，等于“将n＋m个相同的小球投放到m（n≥m）个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球”的放法种数，根据问题1可知，共种不同放法. 迁移应用 解：（1）需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放法对应着一种分法，故共有＝10（种）. （2）恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入其中的3个盒子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有＝40（种）. （3）恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入其中的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5个空隙中的任意1处，故共有＝30（种）. 随堂检测 1.C　分两类：一类是2个白球有＝15（种）取法；另一类是2个黑球有＝6（种）取法.所以共有15＋6＝21（种）取法. 2.A　根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5，6，7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有＝6（种）. 3.A　当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有＝20（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有＝30（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有＝30（种）不同的分配方案.故共有20＋30＋30＝80（种）不同的分配方案. 4.（1）1 260　（2）80　解析：（1）第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有＝1 260（个）. （2）第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有＝80（个）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $