6.2.2 第2课时 排列的综合应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦排列的综合应用核心知识点，系统梳理数字排列（如六位奇数、个位非5的六位数）、排队问题（相邻与不相邻、在与不在）及拓展的圆排列问题，在排列概念基础上构建从基础到综合的学习支架，衔接原理与实际应用。 该资料以数学建模和数学运算为特色，通过数字排列、排队问题等例题及捆绑法、插空法等规律培养逻辑推理能力，圆排列探究激发创新意识。课中例题解析辅助教师教学，课后练习题与课堂小结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二课时　排列的综合应用 课标要求 1.进一步理解排列的概念，掌握几种有限制条件的排列问题（数学运算）. 2.会应用排列知识解决简单的实际问题（数学建模）. 知识点一｜数字排列问题 【例1】　（链接教材P19例4）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）不大于4 310的四位偶数. 【规律方法】 数字排列问题的常用方法 主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论. 　　提醒：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理. 训练1　从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数. （1）求可以组成多少个大于500的三位数； （2）求可以组成多少个三位数. 知识点二｜排队问题 角度1　“相邻”与“不相邻”问题 【例2】　3名男生，4名女生共7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）男、女各站在一起； （2）男生必须站在一起； （3）男生不能站在一起； （4）男生互不相邻，且女生也互不相邻. 【规律方法】 处理元素“相邻”与“不相邻”问题的策略 （1）元素相邻：通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列； （2）元素不相邻：通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空中. 角度2　“在”与“不在”问题 【例3】　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. （1）甲不在首位的排法有多少种？ （2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ （3）甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ （4）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 【规律方法】 “特殊”优先原则 处理特殊元素或特殊位置问题的解题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种思路考虑：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出全排列数，再减去不符合要求的排列数. 训练2　（1）为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（　　） A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 （2）某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，则排课程表的不同方法有　　　　种. 圆排列问题 【问题探究】　 有6个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？ 【探究归纳】　 所谓圆排列，即n个不同的事物围成一个圆时总的排法数. 从最简单的做起：当圆排列只有一个人时，显然只有一种排法，即（1－1）！，两个人时也只有一种排法，即（2－1）！.为了清晰表示这种情况，用简单的图形（如图）表示，可以基于下面的思路：三个人圆排列时， 可以看成是在前面两个人圆排列的基础上再加一个人，两个人圆排列时有（2－1）！种排法，同时两个人之间形成两个空隙，第三个人只需在两个空隙中任选一个空隙坐下即可，故三个人的圆排列有2×（2－1）！＝（3－1）！种.同理，n个人圆排列时，有（n－1）×（n－2）！＝（n－1）！种，综上可以得到以下结论： 结论　第一类（人排列）：n个人站成一圈，不同的站法一共有（n－1）！种； 第二类（项链排列）：如果排成一圈的是某种可以翻转的物体（如珍珠，无正反面），那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要乘以2.因此，这时求排列数，需要在正常情况下的圆排列数再除以2，即不同的排法一共有（n≥3）种. 【迁移应用】 1.有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，则这5对夫妇恰好都被安排到一起相邻而坐的坐法数为（　　） A. B. C.×25 D.×25 2.6颗不同颜色的钻石，可以穿成　　　　种钻石圈. 1.用0，1，2，3，4组成无重复数字的四位偶数的个数为（　　） A.24 B.48 C.60 D.72 2.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为（　　） A.144 B.72 C.36 D.12 3.有五名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有（　　） A.66种 B.60种 C.36种 D.24种 4.小陈准备将新买的《尚书·礼记》《左传》《孟子》《论语》《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有　　　　种. 课堂小结 1.理清单 （1）数字排列问题； （2）“相邻”与“不相邻”问题； （3）“在”与“不在”问题. 2.应体会 （1）利用捆绑法解决“相邻”问题； （2）利用插空法解决“不相邻”问题； （3）利用特殊元素优先法（间接法）解决“在”与“不在”问题. 3.避易错 分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.2　第二课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　排列的综合应用 【例1】　解：（1）第一步，排个位，有种排法； 第二步，排十万位，有种排法； 第三步，排其他位，有种排法. 故共有＝288个六位奇数. （2）十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类. 第一类，当个位排0时，有个； 第二类，当个位不排0时，有个. 故符合题意的六位数共有＋＝504个. （3）分三种情况， ①当千位上排1，3时，有个； ②当千位上排2时，有个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有个； 形如41××的有个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数. 故共有＋＋2＋＋2＝110个. 训练1　解：（1）百位选5，7，9中的一张，有种排法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有种排法.所以大于500的三位数的个数为＝3×4×3＝36. （2）百位不能选0，有种排法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有种排法.即所有三位数的个数为＝4×4×3＝48. 【例2】　解：（1）（相邻问题捆绑法）　男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有种排法，全体男生和全体女生各看作一个元素全排列有种排法，由分步乘法计数原理知，共有··＝288（种）排法. （2）（捆绑法）　把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列， 故有·＝720（种）不同的排法. （3）（不相邻问题插空法）　先排女生有种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有种排法，故有·＝1 440（种）不同的排法. （4）先排男生有种排法，让女生插空，有·＝144（种）不同的排法. 【例3】　解：（1）法一（元素分析法）　第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法； 第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法. 由分类加法计数原理知，共有＋4×＝2 160（种）排法. 法二（位置分析法）　第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法. 由分步乘法计数原理知，共有＝2 160（种）排法. 法三（间接法）　先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种， 所以符合要求的排法有－＝2 160（种）. （2）（位置分析法）　第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有＝1 800（种）排法. （3）（位置分析法）　第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有＝1 200（种）排法. （4）（间接法）　总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有－2＋＝1 860（种）排法. 训练2　（1）C　（2）504　解析：（1）因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共种，再排其内部顺序种，所以不同的安排方案有＝120×2＝240种.故选C. （2）6门课总的排法有种，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有种排法；数学排在最后一节，有种排法，但这两种情况都包括体育排在第一节且数学排在最后一节的情况，这种情况有种排法.因此符合条件的排法有－2＋＝504（种）. 教材挖掘 问题探究 提示：为了更方便地说明这个问题，我们先将6人编号为1～6，然后以他们的编号按照顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列. 分别以1，2，3，4，5，6号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到6种排列：1，2，3，4，5，6；…；6，1，2，3，4，5.这就是说，这个圆排列对应了6个排列.因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数再除以6就可以了，即不同的坐法有＝120种. 迁移应用 1.D　要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组，然后让这5组人围坐成一圈，于是有种坐法.考虑到组内两人还有顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐共有×25种坐法. 2.60　解析：首先，6颗钻石圆排列有（6－1）！种情况；其次，钻石圈可以翻转，没有顺时针与逆时针的区别.因此，可以穿成＝60种钻石圈. 随堂检测 1.C　根据题意分两种情况：当个位数为0时，有＝24（个），当个位数为2或4时，有2·＝36（个），所以无重复数字的四位偶数有24＋36＝60（个）.故选C. 2.A　先将老师全排列，有种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有种排法，故共有＝144（种）排法. 3.B　五名学生进行全排列共有种站法，而甲站在乙的左边，或乙的右边，故甲不排在乙的左边的情况共有＝60（种）. 4.24　解析：先将《论语》《诗经》两本书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.先排《尚书·礼记》，排法种数为；然后剩余3个位置全排列，排法种数为；最后排好《论语》《诗经》，两本书的排法种数为.所以不同的摆放方法有＝2×6×2＝24（种）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $