6.2.1 6.2.2 第1课时 排列与排列数-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

根据分类加法计数原理,共有180十80一260(种)不同的 要点二 涂法. 所有不同排列 A n(n-1)(n-2)·...·(n-m+1) [变式3]解析(1)A种植在左边第1垄时,B种植在第8,9,10 n (n-n)!n!1 袭中的任一袭,有3种不同的种植方法;A种植在左边第2 [思考]题(1)包括两个方面:①从n个不同元素中取出n个 垄时,B种植在第9,10垄中的任一袭,有2种不同的种桂 元素;②按照一定的顺序排列. 方法;A种植在左边第3垄时,B种植在第10垄,只有1科 (2)“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m n)个元 种植方法,B在左边种植的情形与上述情形相同,故共有 2X(3十2十1)一12(种)不同的选垄方法.故选C项. 素,按照一定的顺序排成一列,不是数,是一种排法;“排列 数”是指从n个不同元素中取出n(m n)个元素的所有排 (2)由题意可得,只需确定区域1,2,3,4的颜色,即可确定 列的个数,是一个数,所以符号A”只表示排列数,而不表 整个伞面的涂色.先涂区域1,有7种选择;再涂区域2,有6 示具体的排列. 种选择,当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5科 [辨析]解(1)错误,排列数是从若干个元素中取出若干个元 选择,剩下的区域4有5种选择;当区域3与区域1涂的商 素的排列的个数,所以排列数一定是整数。 色相同时,剩下的区域4有6种选择,故不同的涂色方案有 (2)错误,在排列问题中,总体中的元素不能重复. 7X6X(5×5+6)-1302(种).故选C项 (3)正确,根据排列的定义可以判断123与321是不同的 答案()C(2)C 排烈. 随堂检测·学以致用 (4)错误,在A中m表示连乘因数的个数,所以n一10. 1.A 个位数字是1或3,所以有2种选择,首位不能为0, m-5. 则有2种选择,百位数字有2种选择,十位数字只有1种选 智(1)×(2)×(3)(4)× 择,根据分步乘法计数原理,用0,1,2,3组成没有重复数字 关键能力·素养提升 的四位数为奇数的有2×2×2×1一8(个).故选A项 [例题1]解(1)不是,加法运算满足交换律,所以选出的2个 2.C 解因为除小张外,每名同学都可以报A,B,C三个课 元素做加法时,与两个元素的位置无关,所以这不是排列 外活动小组中的任意一个,都有3种选择,小张不能报A小 问题. 组,只有2种选择,所以不同的报名方法有3×3×3×2-54 (2)是.由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横 (种).故选C项. 坐标,哪一个数是纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题, 3.C 解设4个班级分别是A,B,C,D,对应的老师分别是 (3)不是,因为从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈 a,b,c,d.设a监考的是B,则剩下的3位老师分别监考剩下 会,只要求选出即可,不需要考虑两个人的顺序,所以这不 的3个班级,共有3种不同的方法;同理,当a监考C或D 是排列问题. 时,剩下的3位老师分别监考剩下的3个班级也各有3种不 (4)是,因为从一个门进,从另一个门出是有顺序的,所以这 同的方法,根据分类加法计数原理,共有3十3十3一9(种)不 是排列问题. 同的安排方法,故选C项. (5)是,任取两球分别放入甲、乙两个盒子里,有顺序之分 4.解析先涂区域1,有4种选择,再涂区域2,有3种选择,接着 所以这是排列问题 涂区域3,有2种选择,最后剩下的两个区域有2种选择,故 [变式1]解(1)对于A项,从甲、乙、丙三名同学中选出两名 不同的涂色方法有4×3×2×2-48(种). 分别参加数学、物理兴趣小组,与顺序有关,是排列问题;对 答48 于B项,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,只 6.2 排列与组合 要求选出即可,不是排列问题;对于C项,从a,b,c,d中选 出3个字母,只要求选出即可,不是排列问题;对于D项,从 6.2.1 排 列 1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数,需要先选出再排 序,是排列问题.故选AD项 6.2.2 排列数 答AD 第1课时 排列与排列数 (2)从4个不同的数字中,每次取出两个相加、相乘的时候, 两个数字交换顺序不影响运算结果,即与元素的顺序无关, 必备知识·基础落实 所以①③不是排列问题; [问题1]提示不相同. 相减,相除,一个为对数的底数、一个为对数的真数,一个为 [问题2]醍际2种,男一师一女,女一师一男 被开方数、一个为根指数,进行上述四种操作,两个数字一 [问题3]题6种,设三位同学分别是A,B,C,则排法是 旦交换顺序,产生的结果就会不同,即与顺序有关,所以② ABC.ACB.BAC.BCA.CAB.CBA ④是排列问题 要点一 [例题2期(1)因为A-7X6×A,A-6×A,所以原式= 1.一定的顺序 36A-36.故选D项. 2.元素 排列顺序 A [思考]提(1)是,元素在排列中的位置不同排列也就不同, (2)由排列数公式可知,A=(m+20)(m+19)....(m十 (2)一是“取出不同的元素”,二是“将元素按一定的顺序 1)m.故选D项. 排列”。 智(1D(2)D ·164· [变式2]解析(1)从4,5,...到n共n-4十1-”-3(个)数,所 (5+1)×9×8×7×6 以根据排列数公式,4×5×6×...×(n-1)×n-A3.故选 (5-1)×10×9×8X7×6 D项. $2)A -A2-n(n+1)-n(n-1)-10,化简得2n=10,所 -0100 方法二 5A+A 以n-5.故选B项. 方法三 得n9或n2.又n7,所以n9,又nN*,所以n的最 4!5! 小值为10. #0# "(1)D(2)B(3)10 [例题3]解析(1)由题意画树状图,如图所示 智行 ##### 第2课时 排列数的综合应用 关键能力·素养提升 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41, [例题1]解析(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当 42,43,共有12个 于从7个元素中任取3个元素的一个排列,所以共有A} (2)由题意画树状图,如图所示 7×6×5-210(种)不同的送法 #7### (2)从7种不同的书中选3本书,这3本书并不要求都不相 同,根据分步乘法计数原理,共有7×7×7一343(种)不同的 送法. 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca. [变式1]解析(1)安排5名司机有A种方案,安排5名售票员 bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc. 有A种方案,根据分步乘法计数原理,共有AA一14400 dca.dcb. (种)方案,故选AC项 [变式3](1)列举如下:A-B-C,A-C-B,B-A-C. (2)把上午五节课看成“5个位置”,分别用1,2,3,4,5来表 B-C-A,C-A-B,C-B-A,共6种.故选C项 示,把语文、数学、英语看成“3个元素”,一种排课法可看作 (2)列出每一个起点和终点情况,如图所示. 是从1,2,3,4,5这5个位置中取出3个位置分给语文、数 广州 _南京 学、英语,分配的时候有顺序之分,故所有不同排课法的种 →南京 北京 广州→天津 ~津 ,北京 数是A.故选B项. 答案(1)AC(2)B [例题2解析(1)根据题意分步完成任务 第一步,排千位数字,从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来 排,有A一5(种)不同排法; 南京 第二步,排百位、十位、个位数字,从排了千位数字后剩下的 故符合题意的机票种类有北京→广州,北京→南京,北京→ 5个数字中选3个排列,有A-5×4×3-60(种)不同 天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京→天津, 排法. 南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→ 所以可组成5×60一300(个)不同的四位数 南京,共12种. (2)根据题意分类完成任务 答(1)C(2)12 第一类,个位数字为0,则从1,2,3,4,5这5个数字中选3 随堂检测·学以致用 个排在千位、百位、十位,有A一5×4×3一60(种)不同 1.C A-20X19t18t..t(20-12+1)-20t19$ 排法: 18X...X9.故选C项 第二类,个位数字为2或4,则0不能排在千位,有AAA} 2.AC 由题可知,A,C项中元素的选取有顺序,B,D项中 2×4×4×3-96(种)不同排法 元素的选取无顺序,由此可判断出A,C项是排列问题,故选 所以可组成60十96-156(个)不同的四位偶数 AC项. [变式2](1)由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被 3.C 解画出树状图如图所示,因此所有的排列为ab,ac, 5整除的五位数,个位数字只能是0或5,万位不能是0. ad,bo,bc,bd,ca,ch,cd,da,db,dc,共12个.故选C项 当个位数字是0时,共有A一120(种)情况; ##### 当个位数字是5时,共有AA一96(种)情况 A 因此由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且 4.解析方法一 能被5整除的五位数的个数是120十96-216.故选C项. C 9X8X7X6×5+9×8X7X6 -10×9×8X7×6X5-10×9×8X7X6 (2)①元素分析法:甲、乙为特殊元素,故先安排甲、乙在两 ·165·第六章计数原理 (2)某人从甲地到乙地，可以坐火车，也可以坐 种，坐轮船的走法有3种，根据分类加法计数原 轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮 理，此人的走法共有4十3=7（种）.故选C项. 船有3趟，则此人的走法共有 [答案](1)C(2)C A.3种 B.4种 [易错提醒]解决计效问题的基本策略是合理 C.7种 D.8种 地分类和分步，然后应用分类加法计数原理 [解析](1)第1封信投到信箱中有4种授法； 和分步乘法计数原理来计算，解决本题易因 第2封信投到信箱中有4种投法：第3封信 标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，误 投到信箱中有4种投法，只要把这3封信投 认为是每个信箱有三种选择，所以可能的投 完，就做完了这件事情，根据分步乘法计数原 法有3种：对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认 为到达乙地需先坐火车后坐轮船，使用分步 理，共有4=6M(种)投法.故选C项. 乘法计数原理计算， (2)因为某人从甲地到乙地，坐火车的走法有4 随堂检测学以致用 答案见P 1.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中 本班监考，则安排监考的方法种数是() 奇数有 ( A.11 B.10 C.9 D.8 A.8个 B.10个C.18个D.24个 4.用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种 2.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课 颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相 外活动小组，每名同学限报其中的一个小组， 邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方 且小张不能报A小组，则不同的报名方法有 法有 种。 A.27种B.36种 C.54种 D.81种 3.有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个 班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在 提示完成Pm课时作业（二） 6.2排列与组合 6.2.1排列 6.2.2 排列数 课标要求 学法指导 1.注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念 1.通过实例， 2.排列的基础是分步乘法计数原理，排列数公式的推导过程是分步乘法计数原 理解排列 理的一个重要应用，要能利用排列数公式进行排列数的运算及排列数恒等式 的概念 的简单证明， 2.能利用计 3.对于排列的应用题，其解法没有明显的规律，解题时往往可以从多种途径考 数原理推 虑，因此要重视对排列问题解题策略的累积， 导排列数 4通过学习排列的概念、排列数公式的应用与计算，发展数学抽象、逻辑推理和 公式 数学运算的核心素养 11 数学选择性必修第三册课堂学案 第1课时 排列与排列数 必备知识基础落实 答案见P 日问题导入 要点二 排列数 在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特 从n个不同元索中取出m(m≤) 等奖学金的男女同学合影留念.师生三人站成 个元索的 的个数，叫 一排，校长站在中间， 定义 做从功个不同元素中取出m个元 问题1：男生在校长左边和女生在校长左边的 素的排列数，用符号 表示 排法相同吗？ n个不同的元素全部取出的一个 排列，叫做”个元索的一个全排 全排列 列，且A:=n×(n一1)×(n一2)× (n-3)×…×3×2×1 问题2：有几种排法？ 正整数1到n的连乘积，叫做n的 阶乘 阶乘，用n!表示 排列数 乘积式 A= 阶乘式 A= 问题3：若获奖的是三位同学，这三人站成一排 合影留念，有几种不同的排法？ 性质 A ,01 备注 n,m∈N”,且m≤n >思考：(1)“得到从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列”的含义是什么？ 日微梳理 (2)排列与排列数有何区别？ 要点一排列 1.定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素，并按照 排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 辨析 2.相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 的 完全相同，且元素的 也 (1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其 相同. 化简的结果不一定是整数。 () >思考：(1)每一个排列中元素的位置是确定 (2)在排列的问题中，总体中的元素可以有 的吗？ 重复， () (2)排列定义中的两个要素是什么？ (3)用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三 位数，123与321是不相同的排列. () (4)若A=10×9×8×7×6,则n=10,m=6. () ·12 第六章计数原理 关键能力素养提升 答案见P4 探究一排列的有关概念 规律总结 【例题1】判断下列问题是否是排列问题. (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加 判断一个问题是否为排列问题的依据 法，其结果有多少种不同的可能？ (1)判断一个问题是否为排列问题的依据是 (2)从1到10这十个自然数中任取两个数组 是否有顺序，有顺序且是从”个不同元素中 成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少 任取m(m≤n)个不同元素的问题就是排列， 个不同的点的坐标？ 否则就不是排列. (3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座 (2)检验是否有顺序的方法就是变换其中两 谈会，有多少种不同的抽取方法？ 个元素的位置，看其结果是否有变化，有变 (4)某商场有四个大门，若从一个大门进去， 化就是有顺序，无变化就是无顺序 购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出 【变式1】(1)（多选）下列问题是排列问题的是 入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小 A求从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参 球中任取两个，分别放人甲、乙两个盒子里， 加数学、物理兴趣小组的方法种数 有多少种不同的放法？ B.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一 项活动的方法种数 C.求从4，b,c,d中选出3个字母的方法种数 D.求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位 数的个数 (2)下列问题哪些可归结为排列问题（不要求 计算)？ 从4个数字3,5,7,9中每次取出两个：①相 加：②相减：③相乘：④相除：⑤一个为对数的 底数，一个为对数的真数：⑥一个为被开方 数，一个为根指数 13 数学选择性必修第三册课堂学案 探究二排列数的计算公式 (2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素 【例题2】1)A9-A 的所有排列. A ( A.12 B.24 C.30 D.36 (2)设n∈N”,则乘积m(m十1)(m十2)·…· (m十20)可表示为 A.A B.A2 C.A20 D.A 规律总结 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积 公式进行，应用时注意：连续正整数的积可 以写成某个排列数，其中最大的是排列元素 的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元 素的个数，这是排列数公式的逆用。 (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写 出它们的式子后，再提取公因式，然后计算， 规律总结 这样往往会减少运算量 利用树状图解决简单排列问题的适用范围 [注意]A"中隐含了3个条件：①m,n∈N”: 及策略 ②m≤n:③A的运算结果为正整数. (1)适用范围：适用于解决排列元素个数不 【变式2】(1)4×5×6×…×(n-1)×n=( 多的问題， A.A B.A (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排 C.(n-4)川 D.A 出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行 (2)已知A品1一A=10,则n的值为( 分类，再安排第二个元素，并按此元素分类， A.4 B.5 C.6 D.7 依次进行，直到完成一个排列，这样能做到 (3)满足不等式光>12的m的最小值为 不重不漏，然后再按树状图写出排列. 【变式3】(1)A,B,C三名同学照相留念，呈“一” 字形排队，所有排列的方法种数为() A.3 B.4 C.6 D.12 (2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通 航，应该有 种机票 探究三用列举法解决排列问题 【例题3】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个组 成两位数，可以组成哪些两位数，一共可以组 成多少个？ 14 第六章计数原理 随堂检测学以致用 答案见P 1.9×10×11×…×20可表示为 D.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 A.A B.A C.A品 D.A蝎 3.从a,b,c,d这4个字母中，每次取出2个字母 2.(多选)下列问题属于排列问题的有 ( 的所有排列有 () A.从10个人中选2人分别去种树和扫地 A.7个 B.8个 C.12个 D.24个 B.从10个人中选2人去扫地 C.从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作为 4计算：心+是 logb中的底数与真数 提示完成P课时作业（三） 第2课时 排列数的综合应用 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 无限制条件的排列问题 规律总结 【例题1】(1)有7本不同的书，从中选3本送给3 名同学，每人各1本，共有多少种不同的 无限制条件的排列问题的 送法？ 常见类型及解题思路 (2)有7种不同的书（每种不少于3本），要选 无限制条件的排列问题，即对所排列的元素 3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种 或所排列的位置没有特别的限制，这一类问 不同的送法？ 题相对简单，分清元素和位置即可.n个不同 的元素占据m个不同的位置，若≥m,且每 个位置只排一个元素，则有A”种不同的排 法；若<m,且每个元素只占一个位置，则有 A种不同的占法.简而言之，就是注意把握 “固定元素”与“固定位置”的相对性和灵活性 【变式1】(1)（多选）将5名司机、5名售票员分配 到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1 名售票员，则所有分配方案的种数为() A.14400B.240 C.AA D.2A (2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、 英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排 课法的种数是 ( ) A.15 B.A C.3 D.5 15