6.2.1 排列(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学排列概念、树状图法及简单排列问题，通过从具体元素取排实例引入，抽象出排列定义，借助树状图直观呈现排列过程，再应用于实际问题，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 该资料以实例驱动概念理解，如判断小组任务分配是否为排列问题，培养数学抽象能力。通过树状图法解决编号土地试种等问题，发展逻辑思维与数学运算素养。例题与训练题结合，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，提升用数学语言表达现实问题的能力。

6.2　排列与组合 6.2.1　排列 【例1】　解：（1）票价只有三种，虽然往返的机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. （2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. （3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题. （5）每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. 所以在上述问题中，（2）（5）是排列问题，（1）（3）（4）不是排列问题. 训练1　①③④　解析：从4个不同的数字中，每次取出两个相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以②不是排列问题；相减，相除，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述三种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以①③④属于排列问题. 【例2】　解：（1）由题意作出树状图如图： 故组成的所有没有重复数字的两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以组成12个. （2）画出树状图，如图所示， 由树状图可知，共有11种不同的试种方案. 训练2　解：由题意作“树状图”，如图： 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 【例3】　解：（1）从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母， 其商共有100×99＝9 900（个）. （2）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”. 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字. 因此共有3×2×1＝6（个）. （3）可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位. 故共有5×4×3×2＝120（个）分配方案. 训练3　（1）B　（2）C　解析：（1）对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30（种）. （2）由题意可知，粗加工工序的排法种数为4×3×2×1＝24.将E，F进行捆绑，且E为F的前一道工序，精加工工序的排法种数为2.由分步乘法计数原理可知，完成该工艺品加工不同的方法有24×2＝48（种）.故选C. 随堂检测 1.AD　A中，选出的2名参加数学和物理小组，与顺序有关，是排列问题；D中，两位数与位置顺序有关，是排列问题；B和C中与顺序无关. 2.C　从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中任选1个同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最后剩下1个同学.按分步乘法计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24（种）. 3.4　解析：列“树状图”如图，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4种排列方法. 　　 4.1 320　解析：共有12×11×10＝1 320（种）不同的获奖情况. 6.2　排列与组合 6.2.1　排列 问题　（1）提示：所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的排列方法种数为3×2＝6. （2）提示：所有不同的排列是 abc，abd，acb，acd，adb，adc， bac，bad，bca，bcd，bda，bdc， cab，cad，cba，cbd，cda，cdb， dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 不同的排列方法种数为4×3×2＝24. （3）提示：问题（1）和问题（2）都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 知识梳理 一定的顺序 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1　排列 课标要求 1.通过实例，理解排列的概念（数学抽象）. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 知识点一｜排列的有关概念 问题　（1）从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ （2）从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ （3）上述问题（1）（2）的共同特点是什么？ 【知识梳理】 定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照　　　　　　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 　　提醒：排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排成一列”. 【例1】　判断下列问题是否为排列问题： （1）北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设往返的票价相同）； （2）选2个小组分别去植树和种菜； （3）选2个小组去种菜； （4）选10个人组成一个学习小组； （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员. 【规律方法】 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 训练1　从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相减；②相乘；③相除；④一个为被开方数，一个为根指数，其中为排列问题的是　　　（填序号）. 知识点二｜画树状图写排列 【例2】　（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成没有重复数字的两位数，一共可以组成多少个？ （2）在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，一共有多少种不同的试种方案？ 【规律方法】 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 （1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式； （2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. 训练2　写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法. 知识点三｜简单的排列问题 【例3】　（链接教材P16例1、例2）用具体数字表示下列问题： （1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； （2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； （3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数. 【规律方法】 解决简单的排列实际应用问题的策略 （1）首先明确要研究的元素是什么，有无顺序； （2）在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成. 训练3　（1）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票的种数为（　　） A.15　 　B.30　　 C.12　 　D.36 （2）已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师完成精加工，其中粗加工要完成A，B，C，D四道工序且不分顺序，精加工要完成E，F，G三道工序且E为F的前一道工序，则完成该工艺品加工不同的方法有（　　） A.144种 B.96种 C.48种 D.112种 1.〔多选〕下列问题是排列问题的是（　　） A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组 B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动 C.从a，b，c，d这4个字母中取出2个 D.从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数 2.李老师要给4个同学轮流进行心理辅导，每个同学1次，则轮流次序共有（　　） A.6种　　　　　　 B.12种 C.24种 D.48种 3.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为　　　　. 4.12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有　　　　种不同的获奖情况. 课堂小结 1.理清单 （1）排列的有关概念； （2）画树状图写排列； （3）简单的排列问题. 2.应体会 对于排列问题要注意树状图法的应用. 3.避易错 在一个排列中同一个元素不能重复出现. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $