8.2 第2课时 非线性回归模型及回归分析(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第二课时　非线性回归模型及回归分析

课标要求

1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义（数学抽象）.

2.了解非线性回归模型（数学抽象）.

3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果（数学运算、数据分析）.  　　

情境导入

设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表所示，

　　作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在一条直线附近.你能求出这个函数模型吗？

知识点一｜非线性回归方程

【知识梳理】

1.非线性回归分析的思想

研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系.

2.非线性经验回归方程

当回归方程不是形如＝x＋（，∈R）时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程.

【例1】　为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c1哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型最佳；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）中判断的最佳回归方程及表中的数据，建立y关于x的回归方程；

其中zi＝ln yi，＝zi.

参考公式：＝，＝－.

（3）试估计第7天细菌繁殖的个数.（参考数据e5.938≈379）

解：（1）作出散点图，如图1所示.

由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1的周围，于是选择y＝c1.

解：（2）令z＝ln y，则＝x＋.

相应的散点图如图2所示.

从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合.

由＝＝0.688，

则＝－＝1.122，

因此＝0.688x＋1.122，从而＝e0.688x＋1.122.

（3）∵＝e0.688x＋1.122，∴当x＝7时，≈379，

故第7天细菌繁殖的个数约为379.

【规律方法】

非线性经验回归方程的求法

训练1　“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况.