8.2 第2课时 非线性回归模型及回归分析(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第二课时　非线性回归模型及回归分析 课标要求 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义（数学抽象）. 2.了解非线性回归模型（数学抽象）. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果（数学运算、数据分析）. 　　 情境导入 设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表所示， 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 　　作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在一条直线附近.你能求出这个函数模型吗？ 知识点一｜非线性回归方程 【知识梳理】 1.非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2.非线性经验回归方程 当回归方程不是形如＝x＋（，∈R）时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程. 【例1】　为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下： 天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c1哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型最佳；（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中判断的最佳回归方程及表中的数据，建立y关于x的回归方程； （xi－）2 （xi－）·（yi－） （xi－）· （zi－） 3.5 62.83 3.53 17.5 596.505 12.04 其中zi＝ln yi，＝zi. 参考公式：＝，＝－. （3）试估计第7天细菌繁殖的个数.（参考数据e5.938≈379） 解：（1）作出散点图，如图1所示. 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1的周围，于是选择y＝c1. 解：（2）令z＝ln y，则＝x＋. x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 相应的散点图如图2所示. 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合. 由＝＝0.688， 则＝－＝1.122， 因此＝0.688x＋1.122，从而＝e0.688x＋1.122. （3）∵＝e0.688x＋1.122，∴当x＝7时，≈379， 故第7天细菌繁殖的个数约为379. 【规律方法】 非线性经验回归方程的求法 训练1　“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2026年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据：＝22.72，（wi－）2＝374，（wi－）（yi－）＝851.2（其中wi＝）. 解：（1）根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型. （2）令w＝x2，则＝w＋. 易知＝11，＝＝≈2.28， ＝－≈22.72－2.28×11＝－2.36， 所以＝2.28w－2.36， 所以y关于x的回归方程为＝2.28x2－2.36. 令x＝6，得＝79.72≈79.7. 故预测2026年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆. 知识点二｜残差与残差分析 问题　阅读教材P110～P112，思考下面问题. 已知具有相关关系的两个变量的经验回归方程为＝x＋. （1）与响应变量Y相等吗？ 提示：不一定. （2）与响应变量Y之间误差大了好还是小了好？ 提示：越小越好. 【知识梳理】 1.残差及残差图 （1）对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为　观测值　，通过经验回归方程得到的称为　预测值　，　观测值　减去　预测值　所得的差称为残差； （2）作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的图形称为残差图. 2.残差分析 　残差　是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为　残差分析　. 【例2】　（1）对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（　A　） 解析：（1）用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. （2）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方程为＝2x＋，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有（　C　） A.r＝s B.s＝2r C.s＝－2r＋3 D.s＝2r＋1 解析：（2）样本点（r，1）的残差为1－2r－，样本点（1，s）的残差为s－－2，依题意得1－2r－＝s－－2，故s＝－2r＋3. 【规律方法】 1.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高. 2.残差是随机误差的估计值，＝yi－. 训练2　（1）某种产品的广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表关系，y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，当广告支出为5万元时，随机误差的残差为（　A　） x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 A.10万元 B.20万元 C.30万元 D.40万元 解析：（1）因为y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，所以当x＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50.由表格知当广告支出5万元时，销售额为60万元，所以随机误差的残差为60－50＝10（万元）. （2）已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第　　6　　个. 解析：（2）原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大的数据. 知识点三｜残差平方和与决定系数R2 【知识梳理】 1.残差平方和法：残差平方和（）2越小，模型的拟合效果越好. 2.决定系数R2法：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；R2越小，模型的拟合效果越差. 【例3】　已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 （1）求y关于x的经验回归方程； 解：（1）由题可得＝×（14＋16＋18＋20＋22）＝18， ＝×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4， 所以＝＝＝－1.15， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求经验回归方程为＝－1.15x＋28.1. （2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏. （参考公式及数据：＝，＝－，＝1 660，xiyi＝620，（yi－）2＝53.2） 解：（2）列出残差表为 yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以（yi－）2＝0.3，且（yi－）2＝53.2， R2＝1－≈0.994， 所以回归模型的拟合效果很好. 【规律方法】 刻画回归效果的三种方法 （1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适； （2）残差平方和法：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好； （3）决定系数法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好. 训练3　某市春节期间7家超市的广告费支出xi（单位：万元）和销售额yi（单位：万元）的数据如下： 超市 A B C D E F G 广告费支出xi 1 2 4 6 11 13 19 销售额yi 19 32 40 44 52 53 54 （1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）若用对数回归模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程＝12ln x＋22，经计算得出线性回归模型和对数回归模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额. 参考数据及公式：＝8，＝42，xiyi＝2 794，＝708，＝，＝－，ln 2≈0.7. 解：（1）由统计数据及公式， 得＝＝＝1.7， ＝－＝28.4， 故y关于x的经验回归方程为＝1.7x＋28.4. （2）因为0.75＜0.97， 所以对数回归模型更合适. 把x＝8代入回归方程＝12ln x＋22， 得＝12×ln 8＋22＝36ln 2＋22≈47.2. 所以当x＝8万元时，预测A超市的销售额为47.2万元. 1.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 则回归模型拟合效果最好的是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：A　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好. 2.某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是（　　） A.y＝a＋bx B.y＝a＋bln x C.y＝a＋bex D.y＝a＋bx2 解析：B　由散点图可知，数据分布成递增趋势，且呈现上凸效果，即增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求. 3.下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：℃）的对比表，已知由表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为＝x＋27，则相应于点（10，20）的残差为　－1　. 气温x/℃ 5 10 15 20 25 杯数y 26 20 16 14 14 解析：＝＝15，＝＝18，代入经验回归方程＝x＋27得18＝15＋27，解得＝－0.6，则经验回归方程为＝－0.6x＋27.所以相应于点（10，20）的残差为20－（－0.6×10＋27）＝－1. 4.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为　　e7.5　　. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－0.5，列表如下： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5 ，代入＝b－0.5得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5. 课堂小结 1.理清单 （1）非线性回归方程； （2）残差与残差分析； （3）残差平方和与决定系数R2. 2.应体会 将非线性回归问题转化为线性回归问题体现了转化与化归思想. 3.避易错 （1）非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程时的转化方法； （2）混淆残差图法、残差平方和法和R2法的概念，导致刻画回归效果出错. 1.一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模型的残差平方和（yi－）2的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合效果最好的是（　　） A.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④ 解析：C　残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最小，所以C正确. 2.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方程，则需做变换t＝（　　） A.x2 B.（x＋a）2 C.（x＋）2 D.以上都不对 解析：C　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋（a≠0），可令t＝（x＋）2，则y＝at＋为y关于t的经验回归方程. 3.已知变量y关于变量x的经验回归方程为＝bln x＋0.24，其一组数据如表所示： x e e3 e4 e6 e7 y 1 2 3 4 5 若x＝e10，则y的值大约为（　　） A.4.94　 　B.5.74 C.6.81　 　D.8.04 解析：C　令t＝ln x，则＝bt＋0.24.由题意得，＝4.2，＝3，由经验回归直线过样本的中心点，有b＝，所以＝ln x＋0.24，将x＝e10代入得≈6.81.故选C. 4.〔多选〕某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　） A.样本相关系数r变小 B.决定系数R2变大 C.残差平方和变大 D.解释变量x与预报变量y的相关性变强 解析：BD　根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3，10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D. 5.〔多选〕某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据可得经验回归方程为＝x＋14.4，则以下说法正确的是（　　） A.样本相关系数r＞0 B.＝－0.32 C.若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg D.第四个样本点对应的残差为－0.4 解析：BCD　对于A、B，由题表中的数据，得＝＝20，＝＝8，将，代入＝x＋14.4，得＝－0.32，所以A错误，B正确；对于C，将x＝35代入＝－0.32x＋14.4，得＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C正确；对于D，第四个样本点对应的残差为y4－＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D正确.故选B、C、D. 6.在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了　　85%的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的　15%　，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多. 解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%. 7.很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上，某人将发布短视频后1～8天的点击量的数据进行了初步处理，得到下面的残差图及一些统计量的值. （xi－）2 （ti－）2 4.5 5 25.5 42 3 570 （xi－）（yi－） （ti－）（yi－） 72.8 686.8 其中ti＝. 某位同学分别用两种模型：①＝bx2＋a，②＝dx＋c进行拟合. （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应该选择哪个模型？ （2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程；（在计算回归系数时精确到0.01） （3）预测该短视频发布后第10天的点击量是多少？ 解：（1）由残差图可知，模型①的拟合效果更好. （2）∵ti＝，∴＝t＋. ∵＝＝≈0.19， ∴＝－＝5－0.19×25.5≈0.16， ∴＝0.19x2＋0.16. （3）由（2）知，令x＝10，则＝0.19×100＋0.16＝19.16. 8.如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝＋c（x＞0），令t＝，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　） A.（0.01，0.02） B.（50，100） C.（0.02，0.04） D.（100，200） 解析：D　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25）可得：所以所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故选D. 9.随着互联网的发展，“美团单车”“哈啰出行”等共享单车服务在我国各城市迅猛发展.为掌握共享单车在某地区的发展情况，某调查机构从该地区抽取了4个城市，分别收集和分析了共享单车的A，B两项指标数xi，yi（i＝1，2，3，4），数据如表所示.由表可得y关于x的经验回归方程为＝4x2＋a，则此经验回归模型中A指标数x＝2时的残差为（　　） A指标数x 1 2 3 4 B指标数y 6 12 35 63 A.0　　　　B.－1 C.－2　　　　D.－3 解析：D　因为＝4x2＋a是非线性的，所以当将其看作y关于x2的函数时，即为线性方程，则＝7.5，＝29，所以29＝4×7.5＋a，得a＝－1，所以＝4x2－1.将x＝2代入方程可得＝15，则12－15＝－3，所以残差为－3.故选D. 10.〔多选〕某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如下表所示. 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 根据表中的数据可得经验回归方程为＝2.27x＋，R2≈0.96，以下说法正确的是（　　） A.第三个样本点对应的残差＝－1 B.在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C.该模型拟合效果较好 D.用该经验回归方程可以很准确地预测广告费用为20万元时的销售量 解析：AC　对于A项：由题意得＝＝4，＝＝8，代入＝2.27x＋，得＝－1.08，故＝2.27x－1.08，所以＝7－（2.27×4.0－1.08）＝－1，故A项正确；对于B、C项：由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故C项正确；故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，故B项错误；对于D项：由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告费用20万元远大于表格中广告费用值，故用该经验回归方程预测广告费用为20万元时的销售量不一定准确，故D项错误.故选A、C. 11.已知指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1－x，则二次函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为　　（，＋∞）　　. 解析：∵y＝aebx，∴两边取对数，作线性变换得ln y＝ln（aebx）＝ln a＋ln ebx＝ln a＋bx，由于指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1－x，则u＝ln y ，ln a＝1，b＝－1，即a＝e，∴二次函数y＝x2＋bx＋a即y＝x2－x＋e，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ，则函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为（，＋∞）. 12.某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图. x 1 2 3 4 5 6 y 0.5 1 1.5 3 6 12 z＝ln y －0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5 （1）该公司科研团队通过分析散点图的特征，计划分别用①y＝bx＋a和②y＝edx＋c两种模型作为年销售量y关于年投资额x的回归模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）； （2）根据下表中数据，用决定系数R2（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？ 经验回归方程 ＝x＋ ＝ （yi－）2 18.29 10.06 参考公式及数据：＝＝，＝－， R2＝1－＝1－，xizi≈28.9，e3.4≈30. 解：（1）由题可得＝×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5， ＝×（0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12）＝4， xiyi＝1×0.5＋2×1＋3×1.5＋4×3＋5×6＋6×12＝121，＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， 所以＝＝≈≈2.1， ＝－＝4－×3.5＝－3.4， 方案①的经验回归方程为＝2.1x－3.4. 对＝两边取对数得ln ＝x＋， 令＝ln ，则＝x＋. ＝×（－0.7＋0＋0.4＋1.1＋1.8＋2.5）＝0.85， ＝≈＝≈0.6，＝－≈0.85－×3.5＝－1.36≈－1.4， 方案②的非线性经验回归方程为＝e0.6x－1.4. （2）方案①的决定系数＝1－； 方案②的决定系数＝1－， 则＜， 故模型②的拟合效果更好，精度更高. 预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量为＝e4.8－1.4＝e3.4≈30（千件）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $