7.5 正态分布(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.5　正态分布

课标要求

1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量（数学抽象）.

2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征（直观想象）.

3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题（数学建模、数学运算）.             

情境导入

　　现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，对于这样的问题我们又如何用数学模型来刻画呢？

知识点一｜正态曲线及其特征

问题　（1）下列随机变量是离散型随机变量吗？

①掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；

②白炽灯的使用时间.

提示：①是，②不是.

（2）教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？

提示：存在.

【知识梳理】

1.正态曲线：若f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线（如图）.

2.正态分布

（1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为　X～N（μ，σ2）　.当μ＝　0　，σ＝　1　时，称随机变量X服从标准正态分布；

（2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝　μ　，D（X）＝　σ2　.

3.正态曲线的特点

（1）非负性：对∀x∈R，f（x）＞0，它的图象在x轴的　上方　；

（2）定值性：曲线与x轴之间的面积为　1　；

（3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线　x＝μ　对称；

（4）最大值：曲线在　x＝μ　处达到峰值；

（5）当｜x｜无限增大时，曲线无限接近　x　轴.

　　提醒：（1）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1；（2）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2.

【例1】　（1）〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　AD　）

A.σ1＝σ2　  B.μ1＞μ3　

C.μ1＝μ2　  D.σ2＜σ3

解析：（1）根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦高，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确.

（2）已知正态曲线的函数解析式为f（x）＝（x∈R），则μ＝　　2　　，σ＝　3　.

解析：（2）将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3.

【规律方法】

1.利用正态曲线的特点求参数μ，σ

（1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ；

（2）正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.

2.“σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中.

训练1　（1）〔多选〕下列关于标准正态分布N（0，1）的概率密度函数f（x）＝·的正确的描述是（　ABC　）

A.f（x）为偶函数

B.f（x）的最大值是

C.f（x）在（0，＋∞）上是单调递减

D.f（x）关于x＝1对称

解析：（1）由正态分布密度函数f（x）＝·，可得f（x）的图象关于x＝0对称，所以f（x）为偶函数，所以A正确，D不正确；根据正态分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f（x）取得最大值f（0）＝·e0＝，所以B正确；根据正态分布曲线的性质，可得f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）单调递减，所以C正确.

（2）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝　　20　　，方差σ2＝　　2　　.