7.2 第1课时 离散型随机变量(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第一课时　离散型随机变量

课标要求

1.通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念（数学抽象）.

2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义（数学抽象）.  　　

情境导入

为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.

　　（1）Ω中包含的样本点数目是多少？

　　（2）设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对Ω中的每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？

知识点一｜随机变量的概念

问题　（1）某人在射击训练中，射击一次命中的环数能否用数值表示相应结果呢？

提示：试验结果：命中1环，命中2环，……，命中10环，可用数值1，2，…，10表示试验结果.

（2）篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？

提示：投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分.

【知识梳理】

1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有　唯一　的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.

2.离散型随机变量：可能取值为　有限个　或可以　一一列举　的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用　大写英文　字母表示随机变量，用　小写英文　字母表示随机变量的取值.

　　提醒：随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω相当于函数定义中的自变量，X（ω）是与ω对应的实数.

【例1】　〔多选〕将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（　　）

A.两次掷出的点数之和

B.两次掷出的最大点数

C.第一次与第二次掷出的点数之差

D.两次掷出的点数

解析：ABC　将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，所以是一个随机变量，A正确；两次掷出的最大点数，为随机变量，B正确；第一次与第二次掷出的点数之差也是随机变量， C正确；而两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对，D错.故选A、B、C.

【规律方法】

随机变量X满足三个特征

（1）试验结果可以用数值表示；

（2）试验前可以判断其可能出现的所有值（取值是明确的）；

（3）在试验前不能确定取何值.

训练1　〔多选〕下列变量是随机变量的是（　　）

A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数

B.一台机器在一段时间内出现故障的次数

C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数

D.方程x2－2x－3＝0的实根个数

解析：ABC　随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A、B、C都符合随机变量的定义；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.

知识点二｜离散型随机变量的判断

【例2】　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：

（1）某教学资源网站一天内的点击量；

解：（1）某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量.

（2）某市明年下雨的次数；

解：（2）某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量.

（3）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差.

解：（3）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量.

【规律方法】

确定离散型随机变量的方法

（1）明确随机试验的所有可能结果；

（2）将随机试验的试验结果数量化；

（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一列出，则是离散型随机变量；否则不是.

训练2　〔多选〕下列随机变量中，是离散型随机变量的是（　AB　）

A.从5个已编好号码的小球（1号到5号）中任取一个，被取出的小球的号码

B.一个袋子中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数

C.某林场的树木最高可达30 m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度

D.从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差

解析：　选项A、B中的随机变量的取值都是有限个，符合离散型随机变量的定义；C中，所选树木的高度是随机变化的，它可以取（0，30]内的任意一个值，无法一一列出，不是离散型随机变量；对于D，实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它的可能取值充满了某个区间，无法一一列出，不是离散型随机变量.

知识点三｜用随机变量表示事件的结果

【例3】　（链接教材P60练习2题）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数X.

（1）写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果；

解：（1）X的所有可能的取值为0，1，2，3.

“X＝0”表示取出3个黑球；

“X＝1”表示取出1个白球2个黑球；

“X＝2”表示取出2个白球1个黑球；