7.4.2 超几何分布(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.4.2　超几何分布

课标要求

1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值（数学抽象）.

2.能用超几何分布解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）.  　　

情境导入

某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个.

　　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？

知识点一｜超几何分布的概念

问题1　（1）已知在10件产品中有4件次品，采取有放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列.

提示：采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B（3，0.4），其分布列为P（X＝k）＝（0.4）k（1－0.4）3－k，k＝0，1，2，3.

（2）已知在10件产品中有4件次品，采取不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，X还服从二项分布吗？你能求P（X＝2）吗？

提示：若采取不放回抽样时X不服从二项分布；“X＝2”，表示“取出的3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正品中取出1件，共有种取法，故P（X＝2）＝.

【知识梳理】

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝　　，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

　　提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型.

【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由：

（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；

（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；

解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.

（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；

（4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列.

解：（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.

【规律方法】

判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法

（1）总体是否分为两类明确的对象；

（2）是否为不放回抽样；

（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.

训练1　〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　）

A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X

B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数

C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X

D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X

解析：ABD　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.

知识点二｜超几何分布的概率及分布列

【例2】　 （链接教材P79例6）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列.

解：由题意知X＝0，1，2，3.

P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.

所以X的分布列为

变式　（1）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列；

（2）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？

解：（1）由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝＝，所以η的分布列为

（2）由题意知X＝0，1，2，3.

法一　P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.

法二　根据X～B（ 3，），由P（X＝k）＝（ 1－（ ）k求出各式概率，

所以X的分布列为

【规律方法】