7.1.2 全概率公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.1.2　全概率公式

课标要求

1.结合古典概型，理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率（数学抽象、数学运算）.

2.了解贝叶斯公式，并会简单应用（数学抽象、数学运算）.  　　

情境导入

学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序.不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样.张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？抽签的公平性如果仅仅从直观上来理解的话，可能并不容易说清楚，但这可利用本节我们要学习的全概率公式来解释.

　　

知识点一｜全概率公式

问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？

提示：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.

用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如图所示.

事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2，利用概率的加法公式和乘法公式，

得P（R2）＝P（R1R2∪B1R2）＝P（R1R2）＋P（B1R2）＝P（R1）P（R2｜R1）＋P（B1）P（R2｜B1）

＝×＋×＝.

【知识梳理】

全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝　P（Ai）P（B｜Ai）　.称为全概率公式.

　　提醒：全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）·P（B｜An）.

【例1】　（链接教材P50例4）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.

解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，

由题意可知，P（A1）＝，P（A2）＝，

且P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝.

由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×＋×＝.

【规律方法】

两个事件的全概率问题求解策略

（1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2（或A与）；

（2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；

（3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）.

训练1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：

（1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率；

解：记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，

（1）由题意，得P（A）＝＝，P（B）＝＝，

P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05，

由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）·P（C｜B）＝×＋×＝.

（2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.

解：（2）P（A）＝＝，P（B）＝＝，

P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05，

由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）·P（C｜B）＝×＋×＝.

知识点二｜多个事件的全概率问题

【例2】　（链接教材P50例5）在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人.

（1）求这个人患流感的概率；

解：（1）设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，C，事件D为这个人患流感，

所以P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，P（C）＝0.2，

P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，P（D｜C）＝0.04，

因此P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C）

＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051.

（2）如果此人患流感，求此人来自A地区的概率.

解：（2）P（A｜D）＝＝＝＝.

变式　如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率.

解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A，B，所以P（A）＝，P（B）＝，

P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，

P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＝×0.06＋×0.05＝.

【规律方法】

“化整为零”求多个事件的全概率问题

（1）如图，P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）；