7.3.1 离散型随机变量的均值(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.3.1　离散型随机变量的均值

课标要求

1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质（数学抽象）.

2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值（数学运算）.

3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题（数学建模、数据分析）.  　　

情境导入

一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5 000万元；如果项目失败，将损失3 000万元.设这个项目成功的概率为P，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则P满足什么条件时你才会对该项目进行资助？为什么？

知识点一｜离散型随机变量的均值

问题1　已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.请思考：

（1）任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列；

提示：X的分布列为

（2）如何求西瓜的平均重量？

提示：＝5×＋6×＋7×＝.

【知识梳理】

1.定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，

则称E（X）＝　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　＝　xipi　为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.

2.两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝　0×（1－p）＋1×p＝p　.

　　提醒：（1）均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数；（2）随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.

【例1】　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值.

解：ξ的所有可能取值为1，2，3，4.

ξ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ＝1）＝0.6.

ξ＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P（ξ＝2）＝（1－0.6）×0.7＝0.28.

ξ＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ξ＝3）＝（1－0.6）×（1－0.7）×0.8＝0.096.

ξ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（ξ＝4）＝（1－0.6）×（1－0.7）×（1－0.8）＝0.024.

则ξ的分布列为

所以E（ξ）＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.

【规律方法】

求随机变量X的均值的步骤

（1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；

（2）求出X取每个值的概率P（X＝k）；

（3）写出X的分布列；

（4）利用均值的定义求E（X）.

训练1　（1）若离散型随机变量X服从两点分布，其分布列为

则X的均值E（X）＝（　C　）

A.2 B.2或

C. D.1

（1）解析：　依题意＋＝1，得a＝1，∴E（X）＝0×＋1×＝.

（2）袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值.

（2）解：取出4个球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8，

P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，

P（X＝7）＝＝，P（X＝8）＝＝，

故X的分布列为

∴E（X）＝5×＋6×＋7×＋8×＝.

知识点二｜均值的性质

问题2　如果X是一个离散型随机变量，E（X＋b）和E（aX）（其中a，b为常数）分别与E（X）有怎样的关系？

提示：设离散型随机变量X的分布列为