6.2.2 第1课时 排列数公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6.2.2　排列数

第一课时　排列数公式

课标要求

1.能利用计数原理推导排列数公式（逻辑推理）.

2.能运用排列数公式解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）.  

情境导入

　　在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍……，这29位名人大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？

知识点一｜排列数及排列数公式

问题　（1）“从写有1，2，3，4的卡片中选取3张，能构成多少个无重复数字的三位数？”

提示：有4×3×2＝24个无重复数字的三位数.

（2）问题（1）中每一个三位数是取出的卡片按“百、十、个”的顺序排成的一个排列，不同的排列种数就是三位数的个数.若记表示三位数的个数，你能得出的意义和的值吗？

提示：表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即＝n（n－1）（n－2）.

（3）根据问题（2），你认为有多少个不同排列数？

提示：＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）.

【知识梳理】

　　提醒：排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n.

【例1】　（链接教材P19例3）（1）用排列数表示：（55－n）·（56－n）…（69－n）（n∈N*，且n＜55）；

（2）计算：.

解：（1）因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－（55－n）＋1＝15（个）数，所以（55－n）（56－n）…（69－n）＝.

（2）原式＝＝＝＝.

【规律方法】

排列数的计算方法

（1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用；

（2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量.

训练1　（1）7×8×9×…×15可表示为（　D　）

A. B.

C. D.

解析：（1）7×8×9×…×15＝＝.

（2）＝　－　.

解析：（2）＝＝＝－＝－.

知识点二｜排列数的计算与证明

【例2】　（1）解方程：＝140；

解：（1）因为所以x≥3，x∈N*.

由＝140得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）.

化简得4x2－35x＋69＝0，

解得x1＝3，x2＝（舍去）.

所以原方程的解为x＝3.

（2）求证：－＝m.

解：（2）证明：∵－＝－＝·（－1）＝·＝m·＝m，∴－＝m.

【规律方法】

排列数的第二个公式＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用.

训练2　（1）不等式＜6的解集为（　D　）

A.[2，8] B.[2，6]

C.（7，12） D.{8}

（1）解析：　由＜6，得＜6×，化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8②，由①②及x∈N*，得x＝8.

（2）求证：＝（n＋1）.

（2）证明：因为＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，（n＋1）＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以＝（n＋1）.

知识点三｜无约束条件的排列问题

【例3】　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？