6.2.2 第1课时 排列数公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学排列数公式核心知识点，基于计数原理推导排列数公式，通过“三位数构成”等具体问题引入排列数定义，明确符号表示、全排列及阶乘概念，呈现乘积式与阶乘式公式，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以“上海交大校庆名人排列”情境导入激发兴趣，通过问题链引导学生自主推导公式培养逻辑推理，结合信号旗等实例渗透数学建模与数学运算。课中助力教师引导学生理解公式推导，课后练习题分层设计帮助学生巩固知识，查漏补缺。

6.2.2　排列数 第一课时　排列数公式 课标要求 1.能利用计数原理推导排列数公式（逻辑推理）. 2.能运用排列数公式解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 情境导入 　　在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍……，这29位名人大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 知识点一｜排列数及排列数公式 问题　（1）“从写有1，2，3，4的卡片中选取3张，能构成多少个无重复数字的三位数？” 提示：有4×3×2＝24个无重复数字的三位数. （2）问题（1）中每一个三位数是取出的卡片按“百、十、个”的顺序排成的一个排列，不同的排列种数就是三位数的个数.若记表示三位数的个数，你能得出的意义和的值吗？ 提示：表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即＝n（n－1）（n－2）. （3）根据问题（2），你认为有多少个不同排列数？ 提示：＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）. 【知识梳理】 排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有　不同排列　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用　n！　表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝　n！　.规定0！＝　1　 排列数 公式 乘积式 ＝　n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　（m，n∈N*，且m≤n） 阶乘式 ＝　　（m，n∈N*，且m≤n） 　　提醒：排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n. 【例1】　（链接教材P19例3）（1）用排列数表示：（55－n）·（56－n）…（69－n）（n∈N*，且n＜55）； （2）计算：. 解：（1）因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－（55－n）＋1＝15（个）数，所以（55－n）（56－n）…（69－n）＝. （2）原式＝＝＝＝. 【规律方法】 排列数的计算方法 （1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用； （2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. 训练1　（1）7×8×9×…×15可表示为（　D　） A. B. C. D. 解析：（1）7×8×9×…×15＝＝. （2）＝　－　. 解析：（2）＝＝＝－＝－. 知识点二｜排列数的计算与证明 【例2】　（1）解方程：＝140； 解：（1）因为所以x≥3，x∈N*. 由＝140得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）. 化简得4x2－35x＋69＝0， 解得x1＝3，x2＝（舍去）. 所以原方程的解为x＝3. （2）求证：－＝m. 解：（2）证明：∵－＝－＝·（－1）＝·＝m·＝m，∴－＝m. 【规律方法】 排列数的第二个公式＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用. 训练2　（1）不等式＜6的解集为（　D　） A.[2，8] B.[2，6] C.（7，12） D.{8} （1）解析：　由＜6，得＜6×，化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8②，由①②及x∈N*，得x＝8. （2）求证：＝（n＋1）. （2）证明：因为＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，（n＋1）＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以＝（n＋1）. 知识点三｜无约束条件的排列问题 【例3】　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有种； 第2类，用2面旗表示的信号有种； 第3类，用3面旗表示的信号有种. 由分类加法计数原理，所求的信号种数是 ＋＋＝3＋3×2＋3×2×1＝15， 故一共可以表示15种不同的信号. 【规律方法】 无约束条件的排列问题 无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为，从n个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是. 训练3　用排列数表示下列问题： （1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解：（1）本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数，即为没有重复数字的三位数的个数. （2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ 解：（2）这是6个元素的全排列问题，其排列数，即为一天的课程的排法种数. 1.－＝（　　） A.480 B.520 C.600 D.1 320 解析：C　＝12×11×10＝1 320，＝10×9×8＝720，故－＝1 320－720＝600. 2.一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的次序种数为（　　） A.4　　　　B.44 C.24　　　　D.48 解析：C　由题意可知，不同的次序种数为＝4×3×2×1＝24. 3.不等式－n＜7的解集为　{3，4}　. 解析：由－n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所以n＝3或n＝4. 4.用0～9这10个数字，可以组成　648　个没有重复数字的三位数. 解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为×＝9×9×8＝648. 课堂小结 1.理清单 （1）排列数及排列数公式； （2）排列数的计算与证明； （3）无约束条件的排列问题. 2.应体会 （1）排列数的计算与证明常应用方程思想； （2）利用排列数公式解决实际问题时，要注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 忽视中“m，n∈N*”这个条件. 1.某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（　　） A.25种 B.55种 C.种 D.53种 解析：C　不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法有种. 2.已知－＝10，则n的值为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：B　由－＝10，得（n＋1）n－n（n－1）＝10，解得n＝5. 3.乘积m（m＋1）（m＋2）（m＋3）…（m＋20）可表示为（　　） A. B. C. D. 解析：D　因为m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的数为m＋20，且共有m＋20－m＋1＝21（个）因式，所以m（m＋1）（m＋2）…（m＋20）＝. 4.某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起的聊天次数为（　　） A.20 B.15 C.10 D.5 解析：A　由题意得共需发起的聊天次数为＝5×4＝20. 5.有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有（　　） A.种 B.种 C.种 D.2种 解析：C　司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法. 6.〔多选〕下列各式中与排列数相等的是（　　） A. B.n（n－1）（n－2）…（n－m） C. D.· 解析：AD　∵＝，A正确；而·＝n·＝，∴＝·，D正确. 7.〔多选〕用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（　　） A. B. C. D.－ 解析：CD　①（直接法）：因为末位数字排法有种，其他位置排法有种，共有×个.②（间接法）：－×.故选C、D. 8.计算＋＝　726　. 解析：由条件得得n＝3，所以＋＝＋＝726. 9.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有　60　种不同的招聘方案（用数字作答）. 解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60（种）. 10.（1）解不等式：3≤2＋6； （2）解方程：3＝4. 解：（1）由题意可知，x∈N*且x≥3， 因为＝x（x－1）（x－2），＝（x＋1）x，＝x（x－1）， 所以原不等式可化为3x（x－1）（x－2）≤2x（x＋1）＋6x（x－1），整理得（3x－2）（x－5）≤0， 所以≤x≤5.又x∈N*且x≥3， 所以原不等式的解集为{3，4，5}. （2）3＝4可化为3×＝4×，即3×＝4×，化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13，由题意知解得1＜x≤8，故原方程的解为x＝6. 11.〔多选〕下列等式一定成立的是（　　） A.＝（n－2） B.＝ C.n＝ D.＝ 解析：ACD　A中，右边＝（n－2）（n－1）n＝＝左边；C中，左边＝n（n－1）（n－2）×…×2＝n（n－1）（n－2）×…×2×1＝＝右边；D中，左边＝·＝＝＝右边；只有B不正确. 12.化简：＋＋＋…＋＝　1－　　　. 解析：因为＝－＝－，所以＋＋＋…＋＝（1－）＋（－）＋…＋（－）＝1－. 13.若M＝＋＋＋…＋，则M的个位数字为　　3　　. 解析：∵当n≥5时，＝1×2×3×4×5×…×n＝120×…×n，∴当n≥5时，的个位数字为0，又∵＋＋＋＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3. 14.已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.从0，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作为圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径.求： （1）可以做多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？ 解：（1）可分两步完成：第一步，选r，因为r＞0，所以r有种选法，第二步，选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法，所以由分步乘法计数原理可得有·＝448个不同的圆. （2）若圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，则a，b，r满足a2＋b2＝r2， 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组， 考虑a，b的顺序，有2种情况， 即符合题意的圆有2＝4个. （3）圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10， 则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6. 当a，b取10，0时，r有7种情况， 当a，b取3，7或4，6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a，b的顺序，有种情况， 所以满足题意的圆共有（＋2）＝38个. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $