6.2.1 6.2.2 第2课时 排列数的综合应用-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第六章计数原理 随堂检测学以致用 答案见P6 1.9×10×11×…×20可表示为 ( ) D.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 A.A B.A品 C.A品 D.A品 3.从a,b,c,d这4个字母中，每次取出2个字母 2.(多选)下列问题属于排列问题的有 的所有排列有 () A.从10个人中选2人分别去种树和扫地 A.7个 B.8个 C.12个 D.24个 B.从10个人中选2人去扫地 A+A C.从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作为 4.计算：A。一A0 1ogb中的底数与真数 提示完成P1m课时作业（三） 第2课时 排列数的综合应用 关键能力素养提升 答案见P1 探究一 无限制条件的排列问题 规律总结 【例题1】(1)有7本不同的书，从中选3本送给3 名同学，每人各1本，共有多少种不同的 无限制条件的排列问题的 送法？ 常见类型及解题思路 (2)有7种不同的书（每种不少于3本），要选 无限制条件的排列问题，即对所排列的元素 3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种 或所排列的位置没有特别的限制，这一类问 不同的送法？ 题相对简单，分清元素和位置即可.n个不同 的元素占据m个不同的位置，若n>m,且每 个位置只排一个元素，则有A种不同的排 法；若n<m,且每个元素只占一个位置，则有 A种不同的占法.简而言之，就是注意把握 “固定元素”与“固定位置”的相对性和灵活性 【变式1】(1)（多选）将5名司机、5名售票员分配 到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1 名售票员，则所有分配方案的种数为() A.14400B.240 C.AA D.2A (2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、 英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排 课法的种数是 () A.15 B.A C.3 D.53 数学选择性必修第三册课堂学案 探究二有限制条件的排列问题 【变式2】(1)由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组 【例题2】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数 成没有重复数字且能被5整除的五位数的个 () 字的四位数。 数是 (1)可组成多少个不同的四位数？ A.144 B.192 C.216 D.240 (2)可组成多少个不同的四位偶数？ (2)有7名学生，在下列不同要求下，求不同 的排列方法种数。 ①全体排成一行，其中甲、乙必须在两边； ②全体排成一行，甲不站中间，也不站两边： 规律总结 有限制条件的排列问题的三种解题思路 以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安 排其他元素；以位置为主考虑，即先安排特 殊位置，再安排其他位置；用间接法解题，先 微专题 不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去 不符合要求的排列数.以上三种思路可以简 用方法·破解疑难 化为图形，即： 方法一 “捆绑法”解决相邻问题 以元素为主，优先 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一 元素分析法 考虑特殊元素 直接法 个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元 位置分析法 以位置为主优先 考虑特殊住置 素的内部排列。 间接法 若解题时分类太多，用直接法求 【例题1】有3名女生、4名男生站成一排，女生必须 解较为麻烦往往采用间接法 相邻，男生也必须相邻，则不同的排法种数是 [注意]解决数字问题时，应注意题千中的限 ( 制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意 A.72 B.96 特殊元素“0”的处理. C.144 D.288 ·16· 第六章计数原理 [解析]第一步，把3名女生看成一个整体，即 [解析]第1步，先排5位母亲的位置，有A 一个对象，4名男生看成一个整体，即一个对 种排法： 象，两个对象排成一排有A虽种排法；第二步， 第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6 对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内 个空位中，如下所示： 部”的排法有A种，男生“内部”的排法有A 母亲 母亲 母亲 种.故符合题意的排法共有AAA=288(种). 母亲 母亲 ,共有 故选D项. A种排法， [答案]D 根据分步乘法计数原理，符合条件的站法共 [名师点评]上述解题方法称为“捆绑法”，解 有A3A=86400(种).故选A项. [答案]A 题思路是先整体再局部，主要用于解决对象 相邻问题.事实上，相邻问题是有限制条件的 [名师点评]上述解题方法称为“插空法”，主 排列问题。 要用于解决元素不相邻问题.事实上，“儿童 【练习1】(1)6本不同的书在书桌上摆成一排，要 不相邻”即元素的排列是有限制条件的，因此 求甲、乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书 也是有限制条件的排列问题。 必须相邻，则不同的摆放方法种数为( 【练习2】(1)为防范社会风险，更好地服务群众， A.24 B.36 某地公安局推出社区民警“驻村”工作模式， C.48 D.60 要求民警每周一到周五，把值班地点挪到村 (2)A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周 子中，该地某派出所计划下周的周一到周五 围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北 派出本所甲、乙等5名优秀民警轮流“驻村”， 面的椅子，B,C二人必须坐相邻的两把椅子， 每名民警安排1天值班，则甲、乙两名民警不 其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座 能相邻值班的排法有 () 次有 A.58种 B.60种 A.60种 B.48种 C.72种 D.78种 C.30种 D.24种 (2)若4名演讲比赛获奖的学生和3名指导 教师站在一排拍照，则其中任意2名教师不 相邻的站法有 种（用数字作答）。 方法二“插空法”解决不相邻问题 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元 素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排 列的空位中 【例题2】5位母亲带领5名儿童站成一排照相， 儿童不相邻的站法有 ( 方法三“整体法”解决定序问题 A.86400种 B.85400种 对于定序问题，可先不考虑顺序限制直接排 C.84400种 D.83400种 列，再除以定序元素的全排列即可. ·17 数学选择性必修第三册课堂学案 【例题3】书架上某一层有5本不同的书，新买了 [名师点评]上述方法一称为“整体法”，“整体 3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺 法”是解决定序问题的基本方法，解决此类问 序不变，则不同的插法种数为 ( 题时要先分清元素特征，再进行排列， A.60 B.120 C.336 D.504 【练习3】(1)某中学为迎接新年到来，筹备“唱响 [解析]方法一新买3本书后，书架上共8 时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺 本书，这8本书的不同排法有A种，而原有 晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学 的5本书对应的不同排法有A种，所以不同 生节目中增加2个教师节目，若保持原来5 的搭法种数为是=A=36,故选C项 个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节 目有 种不同的排法（用数字作答）。 方法二将新买的3本书逐一插进去：第1 (2)有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮 本书插入5本书形成的6个空隙中的1个， 各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到 有6种插法；第2本书插入6本书形成的7个 右，女生从矮到高排列，有 种排法。 空隙中的1个，有7种插法；最后1本书插入 7本书形成的8个空隙中的1个，有8种插 法.根据分步乘法计数原理，不同的插法种数 为6×7×8=336.故选C项. [答案]C 随堂检测学以致用 答案见P 1.从6名同学中选出正，副组长各1名，不同的 3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大 选法有 ( 会》的现场录制，5人坐一排，则小明的父母都与 A.11种 B.15种 他相邻的排法共有 种（用数字作答）. C.30种 D.36种 4.排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合 2.用数字2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位 唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合 数，其中偶数的个数为 ( A.120 B.72 条件的排法共有 种（用数字作答）. C.60 D.48 : 提示完成P课时作业（四） 6.2.3组合 6.2.4组合数 课标要求 学法指导 1,通过实例，理解1.学会区分“排列问题”和“组合问题”.取出若干元素后，“需要按照一定的顺 组合的概念 序排成一列”的是排列问题，“不需要考虑顺序合成一组”的是组合问题 2.能利用计数原2.对组合数的两个性质重在会解释，并运用于计算之中 理推导组合数3.通过学习组合的概念、组合数公式，以及解决有限制条件的组合问题，发展 公式 数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养 ·18·[变式2]解析(1)从4,5，…到n共n一4十1=n一3（个）数，所 (5+1)×9×8×7×6 以根据排列数公式，4X5X6X…X(n一1)Xn=A:3.故选 (5-1)×10×9×8X7X6 D项， 20 (2)A号+1-A2=n(n十1)一n(n-1)=10,化简得2n=10,所 A8+A5A8+A=6A4=3 以n=5.故选B项. 方法二 A。-Ai。-50A-10A40A=20 (3)由排列鼓公式得}>12，即(m-5Dm-6)>12,解 9191 (m-7)!n! 方法三 A8十A& 41T51 5×91+9! 得n>9或2.义n≥7，所以n>9,又n∈N”,所以n的最 A。-A6 10！_101 5×10！-101 41 51 小值为10. 答案(1)D(2)B(3)10 6×91 3 4X101 201 [例题3]解析(1)由题意画树状图，如图所示 昏器易 第2课时 排列数的综合应用 234 关键能力·素养提升 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41， [例题1]解析(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当 42,43,共有12个 (2)由题意画树状图，如图所示。 于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A= 7X6×5=210(种)不同的送法. (2)从7种不同的书中选3本书，这3本书并不要求都不相 同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343（种）不同的 送法 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca, [变式1门解析(1)安排5名司机有A种方案，安排5名售票员 bed,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc, 有A种方案，根据分步乘法计数原理，共有AA=14400 dca,dcb. (种)方案.故选AC项. [变式3]解析(1)列举如下：A一B一C,AC一B,B一A一C, (2)把上午五节课看成“5个位置”，分别用1,2,3,4,5来表 BC一A,C-A-B,C-B-A,共6种.故选C项. 示，把语文、数学、英语看成“3个元素”，一种排深法可看作 (2)列出每一个起点和终点情况，如图所示. 是从1,2,3,4,5这5个位置中取出3个位置分给语文、数 广州 ,南京 学、英语，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种 北 ·南南 ”天津 数是A.故选B项. 天津 北京 答案(1)AC(2)B 天津 北京 [例题2]解析(1)根据题意分步完成任务： 第一步，排千位数字，从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来 北京 排，有A=5(种)不同排法； 广州 南京 第二步，排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的 故符合题意的机票种类有北京→广州，北京→南京，北京~ 5个数字中选3个排列，有A=5×4×3=60(种)不同 天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津， 排法， 南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→ 所以可组成5×60=300（个）不同的四位数. 南京，共12种. (2)根据题意分类完成任务： 答案(1)C(2)12 第一类，个位数字为0，则从1,2,3,4,5这5个数字中选3 随堂检测·学以致用 个排在千位、百位、十位，有A=5×4×3=60(种)不同 1.C解析A号=20×19×18×…×(20-12+1)=20×19× 排法： 18X…×9.故选C项， 第二类，个位数字为2或4，则0不能排在千位，有AA1A好= 2.AC解析由题可知，A,C项中元素的选取有顺序，B,D项中 2×4×4×3=96(种)不同排法， 元素的选取无顺序，由此可判斯出A,C项是排列问题.故选 所以可组成60十96=156（个）不同的四位偶数. AC项. [变式2]解析(1)由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被 3.C解析画出树状图如图所示，因此所有的排列为ab,ac, 5整除的五位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0. ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc,共l2个.故选C项. 当个位数字是0时，共有A=120(种)情况： 个个个 当个位数字是5时，共有AlA1=96(种)情况 因此由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且 4,解析方法一 A8+A5 Aio-Aio 能被5整除的五位数的个数是120十96=216.故选C项. 9×8×7×6×5+9×8X7×6 答案C 10×9×8×7×6×5-10×9×8×7×6 (2)①元素分析法：甲、乙为特殊元素，故先安排甲、乙在两 ·165 边，有A最种排法，再安排其余5人，有A种排法，根据分步 A种排法：第二步，排其余的3个独唱节目，然后把3个合 乘法计敏原理，共有AA=240(种)排法. 唱节目插入到3个独唱节目产生的4个空位中，有A8A8种 ②位置分析法：分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲 排法，根据分步乘法计数原理，符合条件的排法共有 外的6人中选3人排列，有A种排法，然后再排其他位置， A3AA=2880(种). 有Af种排法，所以共有A2A=2880(种)排法. 答秦2880 [练习1门解析(1)根据题意，完成这件事可分三步：第一步，将 6.2.3组合 甲、乙两本书摆放在两端，有A逢种摆法；第二步，将丙、丁两 6.2.4组合数 本书看成一个整体，考虑两本书的顺序有A追种摆法：第三 步，将丙、丁这个整体与另外2本书全排列，摆放在中间的3 第1课时组合与组合数 个位置，有A种摆法.根据分步乘法计数原理，共有 必备知识·基础落实 A1AA=2X2X6=24(种)不同的摆放方法.故选A项. [问题1门提示不相同. (2)首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考 [问题2]提示从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不 虑B,C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以 是排列 互换，利用捆绑法可得4A虽种，接下来，考虑其余三人的情 [问题3]提示理解为任取两个数组合在一起. 况，其余位置可以互换，可得A通种，最后根据分步乘法计数 要点一 原理，得4×A×A3=48(种).故选B项. 1.一组 答案(1)A(2)B 2.元素相同 [练习2]解析(1)排除甲、乙外的3人值班有A种方法，在4 [思考]提示(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元 个空隙中取2个空隙插入甲、乙有A好种方法，所以甲、乙两 素也是不同的。 名民警不能相邻值班的排法有AA=72(种).故选C项. (2)无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回地 (2)根据题意，分两步分析：先将4名演讲比赛获奖的学生 抽取 全排列，有A4=24(种)站法，站好后有5个空位，在其中选 要点二 三个空位，安排指导教师，有A健=60（种）情况.根据分步乘 不同组合C n(n-1)(n-2)…(n-m十1) 法计数原理，共有24×60=1440（种）符合题意的站法， m! 答案(1)C(2)1440 n! m!(n-m)1 [练习3]解析(1)在5个学生节日中增加2个教师节目，共有7 [辨析]解析(1)错误.因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是 个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，将这7个位置 不同的，故是排列问题 挑出2个位置安排给2个教师节日，共有A导=42（种）安排 (2)正确.因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种， 方法，再将剩下的5个位置安排给5个学生节目，因原来 按一定次序分给3个人去千，所以是排列问题， 5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共 (3)正确.因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人， 有42×1=42（种）不同的排法. 都不需考虑他们的顺序，故是组合问题 (2)方法一7名学生的排列方法共有A?种，其中女生的 (4)错误.C”是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故 排列方法有A种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其 C”一定是正整数】 中的一种，故不同的排法共有 A =A4=840(种). (5)正确.组合与排列的不同之处是组合选出的元素没有顺 方法二设想有7把椅子让4名男生去坐，共有A种方 序，而排列有顺序 法，3名女生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的 答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)/ 排列只有一种，故不同的坐法共有A=840(种). 关键能力·素养提升 答案(1)42(2)840 例题1门解析(1)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变 随堂检测·学以致用 这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数 1.C解析从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法 (2)是组合问题，因为取出3个数宇后，无论怎样玫变这3 有A=30(种).故选C项. 个数字的顺序，其构成的集合都不变 2.B解析由于五位数为偶数，因此个位数必为偶数，可在2,4， (3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先 6中任选一个数，有3种选择，其他数位任意排列，根据分步乘 谁后，没有顺序的区别. 法计数原理，所求偶数的个数为3A4=3×24=72.故选B项. (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚 3解析小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 军、乙队得冠军是不一样的情况，是有顺序区别的. 将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A=2(种)排法，将 [变式1门AC解析A项中选出的元素构成集合，是组合问题； 这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A=6(种)排法，此时共 B项中2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列 有2×6=12（种）不同的排法. 问题；C项中选出的3人去参加研讨会，是组合问题：D项 答案12 中2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问 4.解析第一步，先排两头，从5个独唱节目中选2个排两头，有 题.故选AC项。 ·166.