6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“组合与组合数公式”核心知识点，通过团代会选代表情境对比排列与组合差异，以问题链驱动组合定义理解，结合排列数推导组合数公式，构建“概念辨析-公式推导-应用解决”的学习支架。 资料以生活化情境导入激发兴趣，通过实例辨析培养数学抽象，公式推导过程渗透逻辑推理，分层例题与训练提升数学运算和建模能力。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化，有效查漏补缺。

6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第一课时　组合与组合数公式 课标要求 1.通过实例，理解组合的概念（数学抽象）. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值（逻辑推理、数学运算）. 3.会用组合知识解决一些简单的组合问题（数学运算、数学建模）. 　　 情境导入 在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上台发言.若3人发言有顺序，有多少种选择方案？若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？以上两个问题，你能发现怎样的关系？ 知识点一｜组合的定义 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题是排列问题吗？ 提示：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种.由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考虑顺序，故不是排列问题. 【知识梳理】 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素　作为一组　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 　　提醒：排列与组合的区别与联系：共同点：两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关. 【例1】　判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ 解：（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. （2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ 解：（2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题. （3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ 解：（3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解：（4）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 【规律方法】 判断一个问题是不是组合问题的方法技巧 （1）区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题； （2）写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树状图法”逐个将各个组合表示出来. 训练1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ 解：（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. （2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ 解：（2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. （3）2025年元旦期间，某班10名同学互送贺卡表达新年的祝福，贺卡共有多少张？ 解：（3）甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题. 知识点二｜组合数与组合数公式 问题2　（1）类比排列数，请写出组合数的概念. 提示：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. （2）我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数表示组合数. 提示：“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，设共有x种不同的取法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有＝x·，即x＝. 【知识梳理】 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的　所有不同组合　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号表示 组合数 公式 乘积式 ＝　　＝　　 阶乘式 ＝　　 性质 ＝，＝＋ 备注 ①n，m∈N*，并且m≤n；②规定＝1 　　提醒：公式＝常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计算；公式＝常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒等式. 角度1　化简与求值 【例2】　（链接教材P24例6）（1）计算：－·； 解：（1）原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0. （2）计算：＋； 解：（2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10， ∴＋＝＋＝＋＝＋31＝466. （3）若＝120，求n. 解：（3）∵＝120， ∴2n（2n－1）（2n－2）（2n－3）＝， 解得n＝3或n＝－1（舍去），∴n＝3. 角度2　组合数的性质 【例3】　（1）＋＋＋…＋＝　7 315　； 解析：（1）因为＝，所以＋＋＋…＋＝（＋）＋＋…＋＝（＋）＋＋…＋＝…＝＝＝7 315. （2）已知－＝，则n＝　14　. 解析：（2）由－＝得＝＋，由组合数的性质，可得＝，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 【规律方法】 利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧 （1）化简：先用组合数的两个性质化简； （2）转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、不等式； （3）求解：解常规代数方程、不等式； （4）检验：注意由中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，验证所得结果是否符合题意. 训练2　（1）＋＝　5 006　； 解析：＋＝＋×1＝＋＝56＋4 950＝5 006. （2）证明：m＝n. 解析：证明：m＝m· ＝＝n·＝n. 知识点三｜简单组合问题的应用 【例4】　在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出4人参加县级培训.甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？ 解：甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人，是组合问题，共有＝28种不同的选法. 变式　本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人只能有1人参加”，有多少种不同的选法？ 解：甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙中选1人，有＝2种选法；再从另外8人中选3人，有种选法.共有＝112种不同的选法. 【规律方法】 解简单的组合应用题的策略 （1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； （2）要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 　　提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 训练3　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 解：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是＝＝＝56. （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 解：（2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是＝＝＝21. （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是＝＝＝35. 1.下列不是组合问题的是（　　） A.从1，2，3，4中选出2个构成的集合个数 B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C.由1，2，3组成无重复数字的两位数 D.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 解析：C　只有选项C与元素的顺序有关，其余选项与顺序无关. 2.把三张游园票分给10人中的3人，分法有（　　） A.种 B.种 C.种 D.30种 解析：B　三张票没区别，从10人中选3人即可，即. 3.从10名大学毕业生中选3人担任村民委员会主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为（　　） A.28 B.49 C.56 D.85 解析：B　依题意，满足条件的选法种数为＋＝49. 4.若＝，则n＝　3或5　. 解析：依题意n＝2n－3或n＋2n－3＝12.解得n＝3或n＝5.经验证知，满足题意. 课堂小结 1.理清单 （1）组合与组合数的定义； （2）组合数的计算与证明； （3）组合数的简单应用. 2.应体会 利用组合数公式及性质解决化简与求值问题时应用了方程思想；利用组合数公式解决简单实际问题时，注意间接法的应用. 3.避易错 分不清“排列”还是“组合”. 1.下列四个问题中，属于组合问题的是（　　） A.从3个分别标有1，2，3的3个不同小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张 解析：C　A、B、D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，是组合问题，故选C. 2.若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（　　） A.种 B.45种 C.54种 D.种 解析：D　由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有种. 3.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为（　　） A.4 B.8 C.28 D.64 解析：C　由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建＝＝＝28（条）公路. 4.若＝42，则＝（　　） A.60 B.70 C.120 D.140 解析：D　由＝×2＝42，解得n＝7或n＝－6（舍去），∴＝＝＝140. 5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（　　） A.70种 B.80种 C.100种 D.140种 解析：A　法一（直接法）　一男两女，有＝5×6＝30（种）；两男一女，有＝10×4＝40（种），共计70种. 法二（间接法）　任意选取有＝84（种），其中都是男医生有＝10（种），都是女医生有＝4（种），于是符合条件的有84－10－4＝70（种）. 6.〔多选〕在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论正确的有（　　） A.“其中恰有2件次品”的取法有8种 B.“其中恰有1件次品”的取法有28种 C.“其中没有次品”的取法有56种 D.“其中至少有1件次品”的取法有56种 解析：AC　抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有＝8（种），A正确；抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有＝56（种），B错误；抽到的3件产品中没有次品的取法有＝56（种），C正确；抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有＋＝64（种），D错误. 7.〔多选〕下列式子成立的是（　　） A.＝ B.＝m C.＝＋ D.＝ 解析：ACD　根据排列和组合数公式，可知A成立；＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），＝（n－1）·（n－2）…（n－m＋1），所以＝n，故B不成立；由组合数的性质，可知C成立；＝＝·＝·，故D成立. 8.不等式－n＜5的解集为　{2，3，4}　. 解析：由－n＜5，得－n＜5，所以n2－3n－10＜0，解得－2＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3，4，故原不等式的解集为{2，3，4}. 9.男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，其中女生有　2或3　人. 解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴×＝30，∴x（x－1）（8－x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝3×4×5.∴x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人. 10.（1）解方程：3＝5； （2）求＋的值. 解：（1）由排列数和组合数公式，原方程可化为3·＝5·，则＝， 即为（x－3）（x－6）＝40.所以x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的解，所以方程的解为x＝11. （2）由组合数的定义知所以7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9， 当r＝7时，原式＝＋＝46； 当r＝8时，原式＝＋＝20； 当r＝9时，原式＝＋＝46. 所以＋的值为46或20. 11.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是（　　） A.5 040 B.36 C.18 D.20 解析：D　最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有＝20（种）. 12.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有（　　） A.72条 B.108条 C.126条 D.252条 解析：C　要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有＝126（种）走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.故选C. 13.已知＝，则＋＋＋＋＝　120　. 解析：∵＝，∴m＝11，∴＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝＝120. 14.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. （1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ （2）选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ 解：（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即＝＝45. 所以共有45种不同的选法. （2）可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有种方法； 第2类，选出的2名是女教师有种方法. 根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21（种）不同的选法. 15.规定＝，其中x∈R，m∈N，且＝1，这是组合数（n∈N*，m∈N且m≤n）的一种推广. （1）求的值； （2）组合数具有两个性质：①＝；②＋＝.这两个性质是否都能推广到（x∈R，m∈N）？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由. 解：（1）由题意得＝＝－84. （2）性质①不能推广，如当x＝时，有意义，但无意义. 性质②能推广，它的推广形式是＋＝（x∈R，m∈N）. 证明如下：当m＝0时，有＋＝1＋x＝； 当m≥1时，有＋＝＋ ＝（ 1＋） ＝＝. 综上，性质②的推广得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $