6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6.2.3　组合

6.2.4　组合数

第一课时　组合与组合数公式

课标要求

1.通过实例，理解组合的概念（数学抽象）.

2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值（逻辑推理、数学运算）.

3.会用组合知识解决一些简单的组合问题（数学运算、数学建模）.  　　

情境导入

在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上台发言.若3人发言有顺序，有多少种选择方案？若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？以上两个问题，你能发现怎样的关系？

知识点一｜组合的定义

问题1　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题是排列问题吗？

提示：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种.由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考虑顺序，故不是排列问题.

【知识梳理】

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素　作为一组　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

　　提醒：排列与组合的区别与联系：共同点：两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.

【例1】　判断下列问题是组合问题还是排列问题：

（1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？

解：（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.

（2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

解：（2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题.

（3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？

解：（3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.

（4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？

解：（4）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.

【规律方法】

判断一个问题是不是组合问题的方法技巧

（1）区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题；

（2）写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树状图法”逐个将各个组合表示出来.

训练1　判断下列问题是组合问题还是排列问题：

（1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？

解：（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.

（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？

解：（2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.

（3）2025年元旦期间，某班10名同学互送贺卡表达新年的祝福，贺卡共有多少张？

解：（3）甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题.

知识点二｜组合数与组合数公式

问题2　（1）类比排列数，请写出组合数的概念.

提示：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

（2）我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数表示组合数.

提示：“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到：

第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，设共有x种不同的取法；

第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法.

根据分步乘法计数原理，有＝x·，即x＝.

【知识梳理】

　　提醒：公式＝常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计算；公式＝常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒等式.

角度1　化简与求值

【例2】　（链接教材P24例6）（1）计算：－·；

解：（1）原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0.

（2）计算：＋；

解：（2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，

∴＋＝＋＝＋＝＋31＝466.

（3）若＝120，求n.

解：（3）∵＝120，

∴2n（2n－1）（2n－2）（2n－3）＝，