6.2.2 第2课时 排列的综合应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦排列的综合应用核心知识点，系统梳理数字排列（含特殊元素“0”处理）、排队问题（相邻与不相邻、在与不在）及圆排列等内容，通过例题与训练题构建从基础排列到有限制条件问题的学习支架。 该资料以“问题驱动-方法归纳-迁移应用”为特色，通过捆绑法、插空法等培养数学运算与逻辑推理素养，如数字排列中分类讨论0的位置，排队问题中相邻元素捆绑与不相邻元素插空，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固方法、弥补知识盲点。

第二课时　排列的综合应用 课标要求 1.进一步理解排列的概念，掌握几种有限制条件的排列问题（数学运算）. 2.会应用排列知识解决简单的实际问题（数学建模）. 知识点一｜数字排列问题 【例1】　（链接教材P19例4）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； 解：（1）第一步，排个位，有种排法； 第二步，排十万位，有种排法； 第三步，排其他位，有种排法. 故共有＝288个六位奇数. （2）个位数字不是5的六位数； 解：（2）十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类. 第一类，当个位排0时，有个； 第二类，当个位不排0时，有个. 故符合题意的六位数共有＋＝504个. （3）不大于4 310的四位偶数. 解：（3）分三种情况， ①当千位上排1，3时，有个； ②当千位上排2时，有个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有个； 形如41××的有个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数. 故共有＋＋2＋＋2＝110个. 【规律方法】 数字排列问题的常用方法 主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论. 　　提醒：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理. 训练1　从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数. （1）求可以组成多少个大于500的三位数； 解：（1）百位选5，7，9中的一张，有种排法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有种排法.所以大于500的三位数的个数为＝3×4×3＝36. （2）求可以组成多少个三位数. 解：（2）百位不能选0，有种排法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有种排法.即所有三位数的个数为＝4×4×3＝48. 知识点二｜排队问题 角度1　“相邻”与“不相邻”问题 【例2】　3名男生，4名女生共7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）男、女各站在一起； 解：（1）（相邻问题捆绑法）　男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有种排法，全体男生和全体女生各看作一个元素全排列有种排法，由分步乘法计数原理知，共有··＝288（种）排法. （2）男生必须站在一起； 解：（2）（捆绑法）　把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列， 故有·＝720（种）不同的排法. （3）男生不能站在一起； 解：（3）（不相邻问题插空法）　先排女生有种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有种排法，故有·＝1 440（种）不同的排法. （4）男生互不相邻，且女生也互不相邻. 解：（4）先排男生有种排法，让女生插空，有·＝144（种）不同的排法. 【规律方法】 处理元素“相邻”与“不相邻”问题的策略 （1）元素相邻：通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列； （2）元素不相邻：通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空中. 角度2　“在”与“不在”问题 【例3】　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. （1）甲不在首位的排法有多少种？ 解：（1）法一（元素分析法）　第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法； 第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法. 由分类加法计数原理知，共有＋4×＝2 160（种）排法. 法二（位置分析法）　第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法. 由分步乘法计数原理知，共有＝2 160（种）排法. 法三（间接法）　先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种， 所以符合要求的排法有－＝2 160（种）. （2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：（2）（位置分析法）　第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有＝1 800（种）排法. （3）甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：（3）（位置分析法）　第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有＝1 200（种）排法. （4）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解：（4）（间接法）　总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有－2＋＝1 860（种）排法. 【规律方法】 “特殊”优先原则 处理特殊元素或特殊位置问题的解题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种思路考虑：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出全排列数，再减去不符合要求的排列数. 训练2　（1）为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（　C　） A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 解析：（1）因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共种，再排其内部顺序种，所以不同的安排方案有＝120×2＝240种.故选C. （2）某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，则排课程表的不同方法有　504　种. 解析：（2）6门课总的排法有种，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有种排法；数学排在最后一节，有种排法，但这两种情况都包括体育排在第一节且数学排在最后一节的情况，这种情况有种排法.因此符合条件的排法有－2＋＝504（种）. 圆排列问题 【问题探究】　 有6个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？ 提示：为了更方便地说明这个问题，我们先将6人编号为1～6，然后以他们的编号按照顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列. 分别以1，2，3，4，5，6号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到6种排列：1，2，3，4，5，6；…；6，1，2，3，4，5.这就是说，这个圆排列对应了6个排列.因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数再除以6就可以了，即不同的坐法有＝120种. 【探究归纳】　 所谓圆排列，即n个不同的事物围成一个圆时总的排法数. 从最简单的做起：当圆排列只有一个人时，显然只有一种排法，即（1－1）！，两个人时也只有一种排法，即（2－1）！.为了清晰表示这种情况，用简单的图形（如图）表示，可以基于下面的思路：三个人圆排列时， 可以看成是在前面两个人圆排列的基础上再加一个人，两个人圆排列时有（2－1）！种排法，同时两个人之间形成两个空隙，第三个人只需在两个空隙中任选一个空隙坐下即可，故三个人的圆排列有2×（2－1）！＝（3－1）！种.同理，n个人圆排列时，有（n－1）×（n－2）！＝（n－1）！种，综上可以得到以下结论： 结论　第一类（人排列）：n个人站成一圈，不同的站法一共有（n－1）！种； 第二类（项链排列）：如果排成一圈的是某种可以翻转的物体（如珍珠，无正反面），那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要乘以2.因此，这时求排列数，需要在正常情况下的圆排列数再除以2，即不同的排法一共有（n≥3）种. 【迁移应用】 1.有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，则这5对夫妇恰好都被安排到一起相邻而坐的坐法数为（　　） A. B. C.×25 D.×25 解析：D　要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组，然后让这5组人围坐成一圈，于是有种坐法.考虑到组内两人还有顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐共有×25种坐法. 2.6颗不同颜色的钻石，可以穿成　60　种钻石圈. 解析：首先，6颗钻石圆排列有（6－1）！种情况；其次，钻石圈可以翻转，没有顺时针与逆时针的区别.因此，可以穿成＝60种钻石圈. 1.用0，1，2，3，4组成无重复数字的四位偶数的个数为（　　） A.24 B.48 C.60 D.72 解析：C　根据题意分两种情况：当个位数为0时，有＝24（个），当个位数为2或4时，有2·＝36（个），所以无重复数字的四位偶数有24＋36＝60（个）.故选C. 2.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为（　　） A.144　　　B.72 C.36　　　D.12 解析：A　先将老师全排列，有种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有种排法，故共有＝144（种）排法. 3.有五名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有（　　） A.66种 B.60种 C.36种 D.24种 解析：B　五名学生进行全排列共有种站法，而甲站在乙的左边，或乙的右边，故甲不排在乙的左边的情况共有＝60（种）. 4.小陈准备将新买的《尚书·礼记》《左传》《孟子》《论语》《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有　24　种. 解析：先将《论语》《诗经》两本书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.先排《尚书·礼记》，排法种数为；然后剩余3个位置全排列，排法种数为；最后排好《论语》《诗经》，两本书的排法种数为.所以不同的摆放方法有＝2×6×2＝24（种）. 课堂小结 1.理清单 （1）数字排列问题； （2）“相邻”与“不相邻”问题； （3）“在”与“不在”问题. 2.应体会 （1）利用捆绑法解决“相邻”问题； （2）利用插空法解决“不相邻”问题； （3）利用特殊元素优先法（间接法）解决“在”与“不在”问题. 3.避易错 分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当. 1.某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（　　） A.120种 B.240种 C.360种 D.480种 解析：A　将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有＝120（种）.故选A. 2.从6人中选4人分别到北京、上海、广州、西安四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去北京游览，则不同的选择方案共有（　　） A.300种 B.240种 C.114种 D.96种 解析：B　先从除甲、乙外的4人中选取1人去北京，再从其余5人中选3人去上海、广州、西安，共有不同的选择方案·＝240（种）. 3.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为（　　） A.18 B.24 C.36 D.48 解析：C　5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3·＝36（种）. 4.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军.但都不是最差的.”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（　　） A.27种 B.72种 C.36种 D.54种 解析：C　根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一名，先排甲、乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为·＝36.故选C. 5.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字且大于201 345的正整数的个数为（　　） A.478 B.479 C.480 D.481 解析：B　以1开头的没有重复数字的六位数的个数为＝120，由于201 345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个，且所有的没有重复数字的六位数的个数为5＝600，故没有重复数字且大于201 345的正整数的个数为600－120－1＝479.故选B. 6.同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则不同的排法种数为（　　） A.288 B.144 C.96 D.72 解析：D　第一步，先将除A，B，C三人外的其余三人进行排序，有种方法，第二步，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法，第三步，将B，C插入剩余三个空位，有种方法，故共有×2×＝72（种）排法. 7.〔多选〕甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　） A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B.若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 解析：BD　甲、乙、丙按从左到右的顺序排列有＝20（种）情况，故A错误；先安排丙、丁、戊三人，有＝6（种）情况，再将甲、乙两人插空，则有＝12（种）情况，故甲、乙不相邻的排法有6×12＝72（种）情况，故B正确；若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有＝24（种）；若最左端不排乙，则最左端只能从丙、丁、戊中选出1人，又乙不能在最右端，则有＝54（种）情况，则共有24＋54＝78（种）排法，故C错误；将甲与乙捆绑，看作一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有＝24（种）排法，故D正确. 8.某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定（可不相邻），则不同的排法有　120　种. 解析：演出中的6个节目全排列有＝6×5×4×3×2×1＝720（种）排法，甲、乙、丙3个节目全排列有＝3×2×1＝6（种）排法，所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有＝＝120（种）. 9.五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、徵、羽，如果将这五个音排成一排，宫、羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有　32　种. 解析：五个位置从左到右依次记为位置一、二、三、四、五.根据角音所在的位置分两类：第一类，角音排在位置一或五，由插空法可得不同的排列顺序有2＝24（种）；第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有2＝8（种）.根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有24＋8＝32（种）. 10.三个女生和五个男生排成一排. （1）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （2）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ （3）如果男生甲、乙之间能且仅能站两个女生，可有多少种不同的排法？ 解：（1）（插空法）　要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法，因此共有·＝14 400（种）不同的排法. （2）法一（位置分析法）　因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有·种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有··种不同的排法，因此共有·＋··＝36 000（种）不同的排法. 法二（间接法）　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法·种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有－·＝36 000（种）不同的排法. （3）男生甲、乙站好有种站法，从三个女生中选2人站在甲、乙之间有种站法， 再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外4人排成一队有种站法， 所以共有··＝1 440（种）不同的排法. 11.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（　　） A.12 B.18 C.20 D.24 解析：D　分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有＝2（种）排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有＝2（种）排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有＝6（种）排法.则共有2×2×6＝24（种）排法. 12.〔多选〕由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有（　　） A.（）2 B.＋（）2 C.－2＋ D.＋＋ 解析：BCD　间接法：总共有种，减去1在个位或0在第一位的共有2种，加上0在第一位且1在个位的种，共有－2＋种，故C正确；直接法：（1）若1在第一位，共有种；若1不在第一位，则先排第一位，有种，再排第五位，有种，最后排中间三个位置，有种，共有＋（）2种；（2）若有1，若1在第一位，共有种；若1在第2，第3，第4位，共有种；若没有1，第1位有种，剩下有种，共有种，故有＋＋种.故选B、C、D. 13.某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为　630　. 解析：按两个班共选择活动项数分三类.第一类，两个班共选择2项活动，有种方法；第二类，两个班共选择3项活动，有种方法；第三类，两个班共选择4项活动，有种方法.则活动安排方案的种数为＋＋＝630. 14.从2，3，4，7，9这五个数字中任取3个，组成没有重复数字的三位数. （1）这样的三位数一共有多少个？ （2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？ （3）所有这些三位数的和是多少？ 解：（1）根据题意，从2，3，4，7，9这五个数字中任取3个组成三位数，有＝60种情况，即有60个符合题意的三位数. （2）根据题意，个位数字为2的三位数有＝12个， 同理：个位数字为3，4，7，9的三位数都有12个， 则所有这些三位数的个位上的数字之和为（2＋3＋4＋7＋9）×12＝25×12＝300. （3）根据题意，由（2）的结论，所有这些三位数的个位上的数字之和为300， 同理：这些三位数的十位，百位上的数字之和都为300， 故所有这些三位数的和为300×100＋300×10＋300＝33 300. 15.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD（边长为3个单位长度）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长度，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位长度，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有多少种？ 解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位长度）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，表示三次骰子的点数之和是12，列举出三个点数之和为12的组合：1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4.共有6种.前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5，每种可以排列出＝6（种）结果，共有3＝3×6＝18（种）结果.3，3，6；5，5，2，这2种组合各有3种结果.共有2×3＝6（种）结果.4，4，4有1种结果.根据分类加法计数原理知共有18＋6＋1＝25（种）结果. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $