6.2.2 第2课时 排列的综合应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第二课时　排列的综合应用

课标要求

知识点一｜数字排列问题

【例1】　（链接教材P19例4）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？

（1）六位奇数；

解：（1）第一步，排个位，有种排法；

第二步，排十万位，有种排法；

第三步，排其他位，有种排法.

故共有＝288个六位奇数.

（2）个位数字不是5的六位数；

解：（2）十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类.

第一类，当个位排0时，有个；

第二类，当个位不排0时，有个.

故符合题意的六位数共有＋＝504个.

（3）不大于4 310的四位偶数.

解：（3）分三种情况，

①当千位上排1，3时，有个；

②当千位上排2时，有个；

③当千位上排4时，

形如40××，42××的各有个；

形如41××的有个；

形如43××的只有4 310和4 302这两个数.

故共有＋＋2＋＋2＝110个.

【规律方法】

数字排列问题的常用方法

主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论.

　　提醒：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.

训练1　从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数.

（1）求可以组成多少个大于500的三位数；

解：（1）百位选5，7，9中的一张，有种排法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有种排法.所以大于500的三位数的个数为＝3×4×3＝36.

（2）求可以组成多少个三位数.

解：（2）百位不能选0，有种排法；十位和个位从剩余4张中选2张排列，有种排法.即所有三位数的个数为＝4×4×3＝48.

知识点二｜排队问题

角度1　“相邻”与“不相邻”问题

【例2】　3名男生，4名女生共7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？

（1）男、女各站在一起；

解：（1）（相邻问题捆绑法）　男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有种排法，全体男生和全体女生各看作一个元素全排列有种排法，由分步乘法计数原理知，共有··＝288（种）排法.

（2）男生必须站在一起；

解：（2）（捆绑法）　把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，

故有·＝720（种）不同的排法.

（3）男生不能站在一起；

解：（3）（不相邻问题插空法）　先排女生有种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有种排法，故有·＝1 440（种）不同的排法.

（4）男生互不相邻，且女生也互不相邻.

解：（4）先排男生有种排法，让女生插空，有·＝144（种）不同的排法.

【规律方法】

处理元素“相邻”与“不相邻”问题的策略

（1）元素相邻：通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列；

（2）元素不相邻：通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空中.

角度2　“在”与“不在”问题

【例3】　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.

（1）甲不在首位的排法有多少种？

解：（1）法一（元素分析法）　第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法；

第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法.

由分类加法计数原理知，共有＋4×＝2 160（种）排法.

法二（位置分析法）　第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法；

第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法.

由分步乘法计数原理知，共有＝2 160（种）排法.

法三（间接法）　先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.

不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，

所以符合要求的排法有－＝2 160（种）.

（2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？