6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第二课时　两个计数原理的综合应用

课标要求

1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别（数学抽象）.

2.能根据具体问题的特征，选择两个计数原理解决一些实际问题（逻辑推理、数学运算）.

知识点一｜组数问题

【例1】　（链接教材P7练习5题）用0，1，2，3，4五个数字.

（1）可以排成多少个三位数字的密码？

解：（1）三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125（个）.

（2）可以排成多少个三位数？

解：（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100（个）.

（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

解：（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18（种）排法.因而有12＋18＝30（种）排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

变式　由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？

解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36（个）.

【规律方法】

解决组数问题的方法

（1）对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位），特殊元素优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解；

（2）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.

　　提醒：数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.

训练1　由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：

（1）无重复数字的三位数？

解：（1）0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18（个）.

（2）可以有重复数字的三位数？

解：（2）百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择.

由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48（个）.

知识点二｜抽取（分配）问题

【例2】　（链接教材P6例4）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有（　　）

A.16种 B.18种

C.37种 D.48种

解析：C　法一（直接法）　按甲工厂分配的班情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方案共有3×3＝9（种）；第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3＝27（种）.综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37（种）.

法二（间接法）　先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37（种）方案.

【规律方法】

解决抽取（分配）问题的方法

（1）当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法；

（2）当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理：一般地，若抽取是有顺序的，则按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；

②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.

训练2　（1）把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（　A　）

A.18种 B.9种

C.6种 D.3种

解析：（1）由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有2种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有3×3×2×1＝18（种）.故选A.

（2）甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为　2　.

解析：（2）不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2（种）.

知识点三｜涂色（种植）问题

【例3】　（1）将5种不同的颜色涂在如图所示的四个区域A，B，C，D中，每个区域涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有　180　种；

解析：（1）法一　可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与D不同色时，D有3种涂法，C有2种涂法，共有5×4×3×2＝120（种）涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3＝60（种）.综上，不同的涂色方法有180种.

法二　先排B，C，D，两两不同色，有5×4×3＝60（种）方法.再排A，A只要与B，C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的涂色方法有60×3＝180（种）.

（2）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有　18　种不同的种植方法.