6.2.3 6.2.4 第2课时 组合的综合应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第二课时　组合的综合应用

课标要求

知识点一｜有限制条件的组合问题

【例1】　（链接教材P25例7）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

（1）至少有一名队长当选；

解：（1）法一　至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有·＋·＝825（种）.

法二　采用排除法有－＝825（种）.

（2）至多有两名女生当选；

解：（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有·＋·＋＝966（种）.

（3）既要有队长，又要有女生当选.

解：（3）分两种情况：第一类，女队长当选，有种；

第二类，女队长不当选，则男队长当选，有·＋·＋·＋种.

故共有＋·＋·＋·＋＝790（种）.

变式　在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？

解：分两类情况：第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有＝462（种）选法.

第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：＋＝660（种）选法.

所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）.

【规律方法】

有限制条件的组合问题主要有两类

（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；

（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.

训练1　某医院有内科医生10名，外科医生4名，现选派4名参加某援助医疗队，其中：

（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？

解：（1）只需从剩余的12人中选2人，

共有＝66（种）.

（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

解：（2）法一（直接法）　至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分三类：

一内三外；二内二外；三内一外，

所以共有＋＋＝790（种）.

法二（间接法）　由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数，得－（＋）＝790（种）.

知识点二｜与几何有关的组合问题

【例2】　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.

（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？

解：（1）法一　可作出三角形＋·＋·＝116（个）.

其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36（个）.

法二　可作三角形－＝116（个），

其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36（个）.

（2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

解：（2）可作出四边形＋·＋·＝360（个）.

【规律方法】

解答几何图形组合问题的策略

（1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强；

（2）解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可；

（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.

训练2　空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（　　）

A.205 B.110

C.204 D.200

解析：A　法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为＋＋＋＝205.

法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为－＝205.

知识点三｜组合中的分组、分配问题

【例3】　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；

解：（1）根据分步乘法计数原理得有＝90（种）.

（2）分为三份，每份两本；