6.2.1 排列(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6.2.1　排列

课标要求

1.通过实例，理解排列的概念（数学抽象）.

2.能应用排列知识解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）.  　　

情境导入

在上节课中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐.能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？

知识点一｜排列的有关概念

问题　（1）从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

提示：所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的排列方法种数为3×2＝6.

（2）从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

提示：所有不同的排列是

abc，abd，acb，acd，adb，adc，

bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，

cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，

dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.

不同的排列方法种数为4×3×2＝24.

（3）上述问题（1）（2）的共同特点是什么？

提示：问题（1）和问题（2）都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.

【知识梳理】

定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照　一定的顺序　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

　　提醒：排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排成一列”.

【例1】　判断下列问题是否为排列问题：

（1）北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设往返的票价相同）；

解：（1）票价只有三种，虽然往返的机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.

（2）选2个小组分别去植树和种菜；

解：（2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.

（3）选2个小组去种菜；

（4）选10个人组成一个学习小组；

解：（3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题.

（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.

解：（5）每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.

所以在上述问题中，（2）（5）是排列问题，（1）（3）（4）不是排列问题.

【规律方法】

判断一个具体问题是否为排列问题的方法

训练1　从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相减；②相乘；③相除；④一个为被开方数，一个为根指数，其中为排列问题的是　　①③④　　（填序号）.

解析：从4个不同的数字中，每次取出两个相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以②不是排列问题；相减，相除，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述三种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以①③④属于排列问题.

知识点二｜画树状图写排列

【例2】　（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成没有重复数字的两位数，一共可以组成多少个？

解：（1）由题意作出树状图如图：

故组成的所有没有重复数字的两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以组成12个.

（2）在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，一共有多少种不同的试种方案？

解：（2）画出树状图，如图所示，

由树状图可知，共有11种不同的试种方案.

【规律方法】

利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略

（1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式；

（2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.

训练2　写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.

解：由题意作“树状图”，如图：

故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.