8.2 第2课时 非线性回归模型及回归分析-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦非线性回归模型及回归分析，通过幼苗高度与天数的散点图情境导入，衔接线性回归知识，搭建“线性到非线性转化”的学习支架，系统涵盖非线性回归方程构建、残差分析及R²应用等核心内容。 其亮点在于以生活化案例（如新能源汽车销售量、细菌繁殖）为载体，通过变量代换（如对数、平方变换）渗透转化思想，结合残差图、残差平方和及R²判断拟合效果，培养数学抽象、数学运算与数据分析素养。例题与训练题梯度设计合理，课堂小结梳理易错点，助力学生掌握建模方法，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第二课时　非线性回归模型及回归分析 1 1. 进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义（数学抽象）. 2. 了解非线性回归模型（数学抽象）. 3. 会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果（数学运算、数据分析）. 课标要求 情境导入 设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表 所示， 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 　　作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在 一条直线附近.你能求出这个函数模型吗？ 知识点一 非线性回归方程 01 知识点二 残差与残差分析 02 知识点三 残差平方和与决定系数R2 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 非线性回归方程 01 PART 目 录 【知识梳理】 1. 非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本 点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关 系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2. 非线性经验回归方程 当回归方程不是形如 ＝ x＋ （ ， ∈R）时，称之为非线性经验回归 方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲 线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间 的非线性经验回归方程. 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下： 天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点 图，根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c1 哪一个作为繁殖的个数y关于 时间x变化的回归方程类型最佳；（给出判断即可，不必说明理由） 解： 作出散点图，如图1所示. 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1 的周围，于是选择y＝c1 . 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）根据（1）中判断的最佳回归方程及表中的数据，建立y关于x的回归 方程； （xi－ ）2 （xi－ ）· （yi－ ） （xi－ ）· （zi－ ） 3.5 62.83 3.53 17.5 596.505 12.04 其中zi＝ln yi， ＝ zi. 数学·选择性必修第三册 目 录 参考公式： ＝ ， ＝ － . 解： 令z＝ln y，则 ＝ x＋ . x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 数学·选择性必修第三册 目 录 相应的散点图如图2所示. 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附 近，因此可以用经验回归方程来拟合. 由 ＝ ＝0.688， 则 ＝ － ＝1.122， 因此 ＝0.688x＋1.122，从而 ＝e0.688x＋1.122. 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）试估计第7天细菌繁殖的个数.（参考数据e5.938≈379） 解： ∵ ＝e0.688x＋1.122，∴当x＝7时， ≈379， 故第7天细菌繁殖的个数约为379. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 非线性经验回归方程的求法 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 数学·选择性必修第三册 目 录 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年 销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明 理由） 解： 根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜 作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测 2026年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据： ＝22.72， （wi－ ）2＝374， （wi－ ）（yi－ ） ＝851.2（其中wi＝ ）. 数学·选择性必修第三册 目 录 解： 令w＝x2，则 ＝ w＋ . 易知 ＝11， ＝ ＝≈2.28， ＝ － ≈22.72－2.28×11＝－2.36， 所以 ＝2.28w－2.36， 所以y关于x的回归方程为 ＝2.28x2－2.36. 令x＝6，得 ＝79.72≈79.7. 故预测2026年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆. 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 残差与残差分析 02 PART 目 录 问题　阅读教材P110～P112，思考下面问题. 已知具有相关关系的两个变量的经验回归方程为 ＝ x＋ . （1） 与响应变量Y相等吗？ 提示：不一定. （2） 与响应变量Y之间误差大了好还是小了好？ 提示：越小越好. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 1. 残差及残差图 （1）对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回 归方程得到的 称为 ， 减去 ⁠所得的差称 为残差； （2）作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观 测值等，这样作出的图形称为残差图. 观测值　 预测值　 观测值　 预测值　 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 残差分析 是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数 据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称 为 ⁠. 残差　 残差分析　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例2】　（1）对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归 模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（　A　） A 解析： 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方 程为 ＝2x＋ ，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有 （　C　） A. r＝s B. s＝2r C. s＝－2r＋3 D. s＝2r＋1 解析： 样本点（r，1）的残差为1－2r－ ，样本点（1，s）的残差 为s－ －2，依题意得1－2r－ ＝s－ －2，故s＝－2r＋3. C 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 1. 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适. 这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预 报精度越高. 2. 残差是随机误差的估计值， ＝yi－ . 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　（1）某种产品的广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万 元）之间有如表关系，y与x的经验回归方程为 ＝6.5x＋17.5，当广告 支出为5万元时，随机误差的残差为（　A　） x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 A. 10万元 B. 20万元 C. 30万元 D. 40万元 A 解析： 因为y与x的经验回归方程为 ＝6.5x＋17.5，所以当x＝5 时， ＝6.5×5＋17.5＝50.由表格知当广告支出5万元时，销售额为60万 元，所以随机误差的残差为60－50＝10（万元）. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的 是从左到右第 个. 6 解析： 原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据， 即偏离平衡位置过大的数据. 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三｜残差平方和与决定系数R2 03 PART 目 录 【知识梳理】 1. 残差平方和法：残差平方和 （ ）2越小，模型的拟合效果越好. 2. 决定系数R2法：可以用R2＝1－ 来比较两个模型的拟合效 果，R2越大，模型的拟合效果越好；R2越小，模型的拟合效果越差. 数学·选择性必修第三册 目 录 【例3】　已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之 间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 数学·选择性必修第三册 目 录 （1）求y关于x的经验回归方程； 解： 由题可得 ＝ ×（14＋16＋18＋20＋22）＝18， ＝ ×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4， 所以 ＝ ＝ ＝－1.15， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求经验回归方程为 ＝－1.15x＋28.1. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏. （参考公式及数据： ＝ ， ＝ － ， ＝1 660， xiyi ＝620， （yi－ ）2＝53.2） 数学·选择性必修第三册 目 录 解： 列出残差表为 yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以 （yi－ ）2＝0.3，且 （yi－ ）2＝53.2， R2＝1－ ≈0.994， 所以回归模型的拟合效果很好. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 刻画回归效果的三种方法 （1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模 型比较合适； （2）残差平方和法：残差平方和 （yi－ ）2越小，模型的拟合效 果越好； （3）决定系数法：R2＝1－ 越接近1，表明模型的拟合效 果越好. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　某市春节期间7家超市的广告费支出xi（单位：万元）和销售额yi （单位：万元）的数据如下： 超市 A B C D E F G 广告费支出xi 1 2 4 6 11 13 19 销售额yi 19 32 40 44 52 53 54 数学·选择性必修第三册 目 录 （1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； 解： 由统计数据及公式， 得 ＝ ＝ ＝1.7， ＝ － ＝28.4， 故y关于x的经验回归方程为 ＝1.7x＋28.4. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若用对数回归模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程 ＝12ln x＋ 22，经计算得出线性回归模型和对数回归模型的R2分别约为0.75和0.97， 请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出 为8万元时的销售额. 参考数据及公式： ＝8， ＝42， xiyi＝2 794， ＝708， ＝ ， ＝ － ，ln 2≈0.7. 数学·选择性必修第三册 目 录 解： 因为0.75＜0.97， 所以对数回归模型更合适. 把x＝8代入回归方程 ＝12ln x＋22， 得 ＝12×ln 8＋22＝36ln 2＋22≈47.2. 所以当x＝8万元时，预测A超市的销售额为47.2万元. 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4 种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 则回归模型拟合效果最好的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 解析： 　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽 率y和温度x（单位：℃）的关系，由试验数据得到 如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最适宜作 为发芽率y和温度x的回归模型的是（　　） A. y＝a＋bx B. y＝a＋bln x C. y＝a＋bex D. y＝a＋bx2 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由散点图可知，数据分布成递增趋势，且呈现上凸效果，即增 加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B 中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋ bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋ bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求. 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：℃） 的对比表，已知由表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为 ＝ x＋ 27，则相应于点（10，20）的残差为 ⁠. 气温x/℃ 5 10 15 20 25 杯数y 26 20 16 14 14 解析： ＝ ＝15， ＝ ＝18，代入经验回归 方程 ＝ x＋27得18＝15 ＋27，解得 ＝－0.6，则经验回归方程为 ＝ －0.6x＋27.所以相应于点（10，20）的残差为20－（－0.6×10＋27）＝ －1. －1 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5 两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示， x＝5时，预测y值为 ⁠. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 e7.5 数学·选择性必修第三册 目 录 解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－ 0.5，列表如下： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝ ＝2.5， ＝ ＝3.5 ，代入 ＝b －0.5得3.5＝b·2.5 －0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝ e1.6×5－0.5＝e7.5. 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）非线性回归方程； （2）残差与残差分析； （3）残差平方和与决定系数R2. 2. 应体会 将非线性回归问题转化为线性回归问题体现了转化与化归思想. 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 避易错 （1）非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程时的转化方法； （2）混淆残差图法、残差平方和法和R2法的概念，导致刻画回归效果 出错. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模 型的残差平方和 （yi－ ）2的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟 合效果最好的是（　　） A. 模型① B. 模型② C. 模型③ D. 模型④ 解析： 　残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最 小，所以C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方 程，则需做变换t＝（　　） A. x2 B. （x＋a）2 C. （x＋ ）2 D. 以上都不对 解析： 　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋ （a≠0），可令t＝ （x＋ ）2，则y＝at＋ 为y关于t的经验回归方程. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 已知变量y关于变量x的经验回归方程为 ＝bln x＋0.24，其一组数据 如表所示： x e e3 e4 e6 e7 y 1 2 3 4 5 若x＝e10，则y的值大约为（　　） A. 4.94 B. 5.74 C. 6.81 D. 8.04 解析： 　令t＝ln x，则 ＝bt＋0.24.由题意得， ＝4.2， ＝3，由经 验回归直线过样本的中心点，有b＝ ，所以 ＝ ln x＋0.24，将x＝e10 代入得 ≈6.81.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 〔多选〕某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D （3，10）后，下列说法正确的是（　　） A. 样本相关系数r变小 B. 决定系数R2变大 C. 残差平方和变大 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强 解析： 　根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性 加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3， 10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 〔多选〕某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg） 之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据可得经验回归方程为 ＝ x＋14.4，则以下说法正确的是 （　　） A. 样本相关系数r＞0 B. ＝－0.32 C. 若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg D. 第四个样本点对应的残差为－0.4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　对于A、B，由题表中的数据，得 ＝ ＝ 20， ＝ ＝8，将 ， 代入 ＝ x＋14.4，得 ＝－ 0.32，所以A错误，B正确；对于C，将x＝35代入 ＝－0.32x＋ 14.4，得 ＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C正确；对于D， 第四个样本点对应的残差为y4－ ＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－ 0.4，所以D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表 明气温解释了 的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余 的 ，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多. 解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机 误差贡献了剩余的15%. 85% 15% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上，某人将发布短视 频后1～8天的点击量的数据进行了初步处理，得到下面的残差图及一些统 计量的值. （xi－ ）2 （ti－ ）2 4.5 5 25.5 42 3 570 （xi－ ）（yi－ ） （ti－ ）（yi－ ） 72.8 686.8 其中ti＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 某位同学分别用两种模型：① ＝bx2＋a，② ＝dx＋c进行拟合. （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应该选择哪个模型？ 解： 由残差图可知，模型①的拟合效果更好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程；（在 计算回归系数时精确到0.01） 解： ∵ti＝ ，∴ ＝ t＋ . ∵ ＝ ＝ ≈0.19， ∴ ＝ － ＝5－0.19×25.5≈0.16，∴ ＝0.19x2＋0.16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）预测该短视频发布后第10天的点击量是多少？ 解： 由（2）知，令x＝10，则 ＝0.19×100＋0.16＝19.16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝ ＋c（x＞0），令t＝ ，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈ （1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　） A. （0.01，0.02） B. （50，100） C. （0.02，0.04） D. （100，200） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线 过点（2，5），（12，25）可得： 所以 所以y＝ 2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜ 0.01，所以0.005＜ ＜0.01，所以100＜x＜200，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 随着互联网的发展，“美团单车”“哈啰出行”等共享单车服务在我国 各城市迅猛发展.为掌握共享单车在某地区的发展情况，某调查机构从该 地区抽取了4个城市，分别收集和分析了共享单车的A，B两项指标数xi， yi（i＝1，2，3，4），数据如表所示.由表可得y关于x的经验回归方程为 ＝4x2＋a，则此经验回归模型中A指标数x＝2时的残差为（　　） A指标数x 1 2 3 4 B指标数y 6 12 35 63 A. 0 B. －1 C. －2 D. －3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　因为 ＝4x2＋a是非线性的，所以当将其看作y关于x2的函数 时，即为线性方程，则 ＝7.5， ＝29，所以29＝4×7.5＋a，得a＝－ 1，所以 ＝4x2－1.将x＝2代入方程可得 ＝15，则12－15＝－3，所以残 差为－3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 〔多选〕某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单 位：万件）之间的对应数据如下表所示. 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 根据表中的数据可得经验回归方程为 ＝2.27x＋ ，R2≈0.96，以下说法 正确的是（　　） A. 第三个样本点对应的残差 ＝－1 B. 在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区 域中 C. 该模型拟合效果较好 D. 用该经验回归方程可以很准确地预测广告费用为20万元时的销售量 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 对于A项：由题意得 ＝ ＝4， ＝ ＝8，代入 ＝2.27x＋ ，得 ＝－1.08，故 ＝2.27x －1.08，所以 ＝7－（2.27×4.0－1.08）＝－1，故A项正确；对于B、 C项：由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故C项正确；故 对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，故B项 错误；对于D项：由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广 告费用20万元远大于表格中广告费用值，故用该经验回归方程预测广告费 用为20万元时的销售量不一定准确，故D项错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 已知指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1－ x，则二次函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为 ⁠. 解析：∵y＝aebx，∴两边取对数，作线性变换得ln y＝ln（aebx）＝ln a ＋ln ebx＝ln a＋bx，由于指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回 归方程为u＝1－x，则u＝ln y ，ln a＝1，b＝－1，即a＝e，∴二次函数 y＝x2＋bx＋a即y＝x2－x＋e，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ， 则函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为（ ，＋∞）. （ ，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售 量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图. x 1 2 3 4 5 6 y 0.5 1 1.5 3 6 12 z＝ln y －0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5 （1）该公司科研团队通过分析散点图的特征，计划分别用①y＝bx＋a和 ②y＝edx＋c两种模型作为年销售量y关于年投资额x的回归模型，请根据 统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程（注：系数b，a，d，c 按四舍五入保留一位小数）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 解： 由题可得 ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5 ＋6）＝3.5， ＝ ×（0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12）＝4， xiyi＝1×0.5＋2×1＋3×1.5＋4×3＋5×6 ＋6×12＝121， ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， 所以 ＝ ＝ ≈ ≈2.1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 ＝ － ＝4－ ×3.5＝－3.4， 方案①的经验回归方程为 ＝2.1x－3.4. 对 ＝ 两边取对数得ln ＝ x＋ ， 令 ＝ln ，则 ＝ x＋ . ＝ ×（－0.7＋0＋0.4＋1.1＋1.8＋2.5）＝0.85， ＝ ≈ ＝ ≈0.6， ＝ － ≈0.85－ ×3.5 ＝－1.36≈－1.4， 方案②的非线性经验回归方程为 ＝e0.6x－1.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）根据下表中数据，用决定系数R2（不必计算，只比较大小）比较两 种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测 当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？ 经验回归方程 ＝ x＋ ＝ （yi－ ）2 18.29 10.06 参考公式及数据： ＝ ＝ ， ＝ － ， R2＝1－ ＝1－ ， xizi≈28.9，e3.4≈30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 解： 方案①的决定系数 ＝1－ ； 方案②的决定系数 ＝1－ ， 则 ＜ ， 故模型②的拟合效果更好，精度更高. 预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年 销售量为 ＝e4.8－1.4＝e3.4≈30（千件）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 $