8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型及参数的最小二乘估计，通过“思考”环节衔接旧知，引导学生从散点图、相关系数过渡到用统计模型刻画相关关系，搭建知识支架帮助理解。 其亮点是结合“礼让斑马线”违法数据、蟋蟀鸣叫与气温等实例，通过问题探究和步骤拆解培养数学眼光、思维与语言。学生能在应用中理解模型，教师可借助即时练、跟踪训练提升教学效率。

8．2　一元线性回归模型及其应用 第1课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．　2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．　3.了解回归分析的基本思想方法和初步应用，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系，是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等． 思考　是否能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型来刻画两个变量之间的相关关系，并通过模型进行预测？ 提示：能，当两个变量之间有较强的线性相关关系时，可以用一元线性回归模型刻画两个变量之间的关系． 新知学习 探究 返回导航 因变量　 响应变量 　解释变量 随机误差 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)随机误差是一个随机变量，产生的原因是多方面的．(　　) (2)在一元线性回归模型中，e是bx＋a与真实值y的随机误差，它是一个可观测的量．(　　) √　 × 新知学习 探究 返回导航 2．若某制造企业年收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该制造企业收入为10亿元，年支出预计不会超过(　　) A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 解析：由题意得，Y＝0.7x＋3＋e. 当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D. √ 新知学习 探究 返回导航 二　经验回归方程与最小二乘法 1．经验回归方程的系数计算公式 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 增大 新知学习 探究 返回导航 　 某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； 【解】　散点图如图所示． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [注意]　只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义． 新知学习 探究 返回导航 √ [跟踪训练1] (1)对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据(1，0.3)，(2，4.7)，(3，m)，(4，8)，通过这组数据求得经验回归方程为＝2.4x－2，则m的值为(　　) A．3 B．5 C．5.2 D．6 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三　利用经验回归方程对总体进行估计 　《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的2024年1－5月份内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违法驾驶员人数 120 105 100 90 85 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违法驾驶员人数． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (综合变式)假如该市在6月份针对不“礼让斑马线”进行为期一个月的整治活动后，在11月份抓拍不“礼让斑马线”违法驾驶员20人，问这次整治活动有无效果？ 新知学习 探究 返回导航 (1)判断两个变量是否线性相关：可以利用样本相关系数，也可以画散点图． (2)求经验回归方程，注意运算的正确性． (3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差． 新知学习 探究 返回导航 √ x 20 30 40 50 60 y 25 27.5 29 32.5 36 √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)中医是中华民族五千年传统文化的瑰宝，是千百年医疗实践的结晶，也是世界优秀文化的精华．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x(单位：亿元)与产品收益 y(单位：亿元)的数据统计如下表： 研发投入x/亿元 1 2 3 4 5 产品收益y/亿元 3 7 9 10 11 36.9 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 32 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表： √ x/万元 0 1 2 3 4 y/万元 10 15 m 30 35 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 0.81 cm 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P120习题8.2T2改编)某车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了五次试验，得到数据如下： 零件的个数x/个 1 2 3 4 5 加工的时间y/h 1.5 2.4 3.2 3.9 4.5 课堂巩固 自测 返回导航 (1)求出 y 关于 x 的经验回归方程； 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：(1)一元线性回归模型的概念；(2)由最小二乘法求经验回归方程；(3)利用经验回归方程进行预测． 2．须贯通：求经验回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程． 3．应注意：(1)不判断变量间是否具有线性相关关系；(2)盲目求解经验回归方程致误．   课堂巩固 自测 返回导航 经验回归方程 的计算公式 的计算公式 ＝_______ ＝＝ ＝－ 3．经验回归方程的性质 (1)经验回归方程一定过点(____________)； (2)一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是____________； (3)(>0)的实际意义：当x增大一个单位时，________个单位． (2)求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程． 参考公式：＝＝，＝－. 解析：由题意知，i＝52和i＝228， 可得＝，＝， 可得＝≈2.62， 则＝－≈－2.62×＝11.47， 所以经验回归方程为＝2.62x＋11.47. (1)请利用所给数据求违法驾驶员人数y与月份x之间的经验回归方程＝x＋； 所以＝＝－＝－8.5，＝－＝100＋8.5×3＝125.5， 所以违法驾驶员人数y与月份x之间的经验回归方程为＝－8.5x＋125.5. 【解】　当x＝9时，＝－8.5×9＋125.5＝49，因此，预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违法驾驶员人数为49. 解：如果不进行整治活动，根据例2(1)所得经验回归方程＝－8.5x＋125.5，当x＝11时，＝－8.5×11＋125.5＝32，即11月份大约不“礼让斑马线”违法驾驶员32人，而实际只有20人，说明这次整治活动有效果． $