8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

·选择性必修第三册· 第八章 成对数据的统计分析 8.2.2 一元线性回归模型参数的 最小二乘估计（第一课时） 学习目标 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义； 2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；（重点） 3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．（难点） 情景导入 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 01 复习回顾，引入新知 一元线性回归模型 Y称为因变量或响应变量， x称为自变量或解释变量， e是Y与bx+a之间的随机误差． a称为截距参数， b称为斜率参数. 一元线性回归模型 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 02 探究新知 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究新知 探究 利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置. 然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如上图所示. 探究新知 方法二：在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如右图所示. 方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如右图所示. 探究新知 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要考虑其他可行方法.先进一步明确我们面临的任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), ‧‧‧, (xn, yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, ‧‧‧, n)，得 显然|ei|越小，表示点(xi , yi)与点(xi , bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如右图所示. 特别地，当ei = 0时，表示点(xi , yi)在这条直线上. 探究新知 因此，可以用这个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”. 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”. 在上式中，，是已知的成对样本数据，所以由和所决定，即它是和的函数.因为还可以表示为，即它是随机误差的平方和，这个和当然越小越好，所以我们取使达到最小的和的值，作为截距和斜率的估计值. 下面利用成对样本数据求使取最小值的，. 探究新知 记，.因为 ， 注意到 探究新知 所以 . 上式右边各项均为非负数，且前项与无关.所以，要使取到最小值，后一项的值应为0，即.此时 . 上式是关于的二次函数，因此要使取得最小值，当且仅当的取值为 . 综上，当，的取值为(2)时，达到最小. 探究新知 经验回归方程与最小二乘估计： 我们将称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法，求得的 , 叫做b,a的最小二乘估计． 注意:（1）经验回归直线必过样本中心 ; （2） 与相关系数r符号相同. 残差分析 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 03 探究新知 对于前面表中出现的数据，利用公式(2)可以计算出，，得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，相应的经验回归直线如图所示. 探究新知 思考：当时，.如果一位父亲的身高为，他儿子长大成人后的身高一定是吗？为什么？ 不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高.不过，我们可以作出推测，当父亲身高为时，儿子身高一般在左右. 实际上，如果把这所学校父亲身高为的所有儿子身高作为一个子总体，那么是这个子总体的均值的估计值. 这里的经验回归方程，其斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加. 探究新知 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 例如，对于前面表中的第6个观测，父亲身高为，其儿子身高的观测值为，预测值为，残差为. 残差分析 探究新知 类似地，我们还可以得到其他的残差，如下表所示. 探究新知 残差图：为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图下所示. 观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边. 说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值. 可见，通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设. 探究新知 思考：观察下列四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定? 通过观察发现，图(4)的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内. 所以在四幅残差图中，只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设. 能力提升 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 04 能力提升 题型一 最小二乘法的概念及辨析 例题1 ABD 能力提升 题型一 最小二乘法的概念及辨析 解析 总结 题型二 求回归直线方程及其应用 例题2 解析 能力提升 总结 求经验回归方程的基本步骤 (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； (4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计. 【注意】只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义，否则求出的经验回归方程毫无意义. 能力提升 题型三 计算残差及残差图分析拟合效果 例题3 解析 1.5 能力提升 题型三 计算残差及残差图分析拟合效果 例题3 D 能力提升 题型三 计算残差及残差图分析拟合效果 解析 能力提升 题型三 计算残差及残差图分析拟合效果 总结 能力提升 题型四 一元线性回归模型的实际应用 例题4 能力提升 题型四 一元线性回归模型的实际应用 解析 课堂小结+限时小练 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 05 课堂小结 随堂限时小练 解 B 随堂限时小练 解 C 随堂限时小练 A 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 -0.79 随堂限时小练 随堂限时小练 解 作业布置与课后练习答案 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 06 巩固作业 作业布置 作业1：完成教材： 第113页 练习第2、3题. 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》.  课后作业答案 1．对一元线性回归模型参数a和b的估计中，有人认为：“估计方法不止一种，根据不同的样本观测数据到直线‘整体接近程度’的定义，可以得到参数a和b不同的估计，只要‘整体接近程度’定义合理即可．”你觉得这个说法对吗? 课后作业答案 课后作业答案 3．根据8.1.1节表8.1-1中的数据，建立人体的脂肪含量关于年龄的经验回归方程，画出残差图，描述残差图的特点． 先画人体的脂肪含量与年龄的散点图，如图所示．由散点图可以发现人体的脂肪含量与年龄呈现近似线性关系，可以用一元线性回归模型刻画． 课后作业答案 课后作业答案 4．计算表8.2-2中的所有残差之和，你能发现什么规律? 经计算可知残差的总和为0.027，这是由于计算过程中四舍五入的原因导致. 课后作业答案 THANKS 感谢您的聆听 （多选）由变量 和变量 组成的10个成对样本数据 得到的经验回归方程为 ，设过点 的直线方程为 ，记 ，则（     ） A．变量 正相关 B．若 ，则 C．经验回归直线 至少经过 中的一个点 D． 对于A:回归方程一次项系数大于零是正相关，A正确； 对于B: 代入回归直线可得 ，B正确； 经验回归直线可以不经过任意一个点，C错误； 根据回归直线的求法最小二乘法值，回归直线的残差平方和最小，D正确. 故选：ABD. 这类概念辨析题，只需要根据回归直线的相关性质逐一判断. 2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单： 2023月份 5 6 7 8 9 月份代码 1 2 3 4 5 新能源车销售 （万辆） 1.6 2.1 2.7 3.7 4.6 (1)根据表中数据，求出 关于 的线性回归方程； (2)随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 . （1） ， ， 关于 的线性回归方程为 . （2）根据表中数据可知，12月份月份代码为8 （万辆）， 估计2023年12月份该公司出售6.74万辆新能源汽车. (2)计算：eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－))，eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)，eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi； (3)代入公式，求出eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中参数eq \o(b,\s\up6(^))，eq \o(a,\s\up6(^))的值； (1)高中女学生的身高预报体重的回归方程是 （其中 ， 的单位分别是cm，kg），则此方程在样本点 处的残差是 . 由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是 ，当 时， ，此方程在样本 处残差为： .故答案为：1.5. (2)根据变量 和 的成对样本数据，由一元线性回归模型 得到经验回归模型 ，求得残差图. 对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（    ） A． B． C． D． 根据一元线性回归模型中对随机误差 的假定，残差应是均值为 、方差为 的随机变量的观测值. 对于A选项，残差与 有线性关系，故A错误； 对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错； 对于C选项，残差与 有非线性关系，故C错； 对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为 的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确. 故选：D. 残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq \o(y,\s\up6(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 利用残差图判断模型拟合效果的方法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． 《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价 （元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 （万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求 关于 的线性回归方程； (2)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 参考数据： ， . 1．工人工资 （元）与劳动生产率 （千元）的回归方程为 ，下列判断正确的是（   ） A．劳动生产率为 元时，工人工资为 元 B．劳动生产率提高 元时，可估测工资提高 元 C．劳动生产率提高 元时，可估测工资提高 元 D．当月工资为 元时，劳动生产率为 元 对选项A：劳动生产率为 元时，工资估计值为 元，而非工资为 元，错误； 对选项B：劳动生产率提高 元，则估测工资平均提高 元，正确； 对选项C：劳动生产率提高 元，则估测工资平均提高 元，错误； 对选项D：当月工资为 元时，劳动生产率的估测值为 元，而不是劳动生产率为 元，错误. 故选：B. 2．已知一系列样本点 EMBED Equation.DSMT4 … 的回归直线方程为 若样本点 与 的残差相同，则有（ ） A． B． C． D． 样本点 的残差为 ，样本点 的残差为 ， 依题意 ，故 ，所以选C. 对变量 ， 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型作出残差图， 则模型拟合精度最高的是（ ） A． B． C． D． 因在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高， 观察4个选项中的残差图，残差点都比较均匀地落在水平的带状区域中，而A选项带状区域的宽度最窄， 所以A选项对应的模型拟合精度最高. 故选：A 4．设某大学的女生体重 (单位： )与身高 (单位： )具有线性相关关系，根据一组样本数据 , 用最小二乘法建立的回归方程为 ，那么针对某个体 的残差是 ． 由题可得 ，残差 ，答案 一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料： 日期 第一年 第二年 第三年 第四年 优惠金额x/千元 10 11 13 12 销售量y/辆 22 24 31 27 (1)求出y关于x的经验回归方程 ； (2)若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y(辆)的值． 参考公式： ， ． （1）由题中数据可得 ， ， ， ， 所以 ， 所以 ，所以y关于x的经验回归方程为 ． （2）由（1）得，当 时， ， 所以第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆． Chart8 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.2 94 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.2 94 脂肪含量/% Sheet1 n 9 p 0.3 概率 0 0.00 0 0.000470185 0.000470185 1 1 0.0047018498 0.0051720348 2 2 0.0219419659 0.0271140008 3 3 0.0633879016 0.0905019024 4 4 0.1267758032 0.2172777057 5 5 0.1859378448 0.4032155504 6 6 0.2065976053 0.6098131557 7 7 0.1770836617 0.7868968174 8 0.1180557745 0.9049525918 9 0.0612141053 0.9661666971 10 0.0244856421 0.9906523392 11 0.0074198915 0.9980722308 12 0.0016488648 0.9997210956 13 0.0002536715 0.9999747671 14 0.0000241592 0.9999989263 15 0.0000010737 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.000470185 0.0047018498 0.0219419659 0.0633879016 0.1267758032 0.1859378448 0.2065976053 0.1770836617 0.1180557745 0.0612141053 0.0244856421 0.0074198915 0.0016488648 0.0002536715 0.0000241592 0.0000010737 Sheet1 Sheet2 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15 Sheet2 鸟的种类/种 Sheet3 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 70.8 91.4 68.5 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125 Sheet3 顾客投诉/次 101 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38 39 43 44.6 46 25 30 34 37 39 41 42 44 48 51 101 A商品销售额/万元 居民年收入/亿元 102 编号 身高/cm 体重/kg 身高/cm 臂展/cm 1 173 55 173 169 2 179 71 179 170 3 175 52 175 172 4 179 62 179 177 5 182 82 182 174 6 173 63 173 166 7 180 55 180 174 8 179 81 179 169 9 169 54 169 166 10 177 54 177 176 11 177 59 177 170 12 178 67 178 174 13 174 56 174 170 14 166 66 166 161 15 176 61 176 166 16 176 49 176 165 17 175 60 175 173 18 169 48 169 162 19 184 86 184 189 20 169 58 169 164 21 182 54 182 170 22 171 58 171 164 23 177 61 177 173 24 173 58 173 165 25 173 51 173 169 102 体重/kg Sheet4 臂展/cm 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.8 3 F/N 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 6.74 7.4 8.54 9.24 0.9996766325 F/N Chart3 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 残差 -3.3117 2.6823 -0.8357 2.7113 2.0053 -1.5007 -0.1772 -0.5067 -0.4832 -0.4362 -1.6127 0.5108 1.0578 -0.1187 94 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 48.0714285714 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 27.2642857143 12.8117 15.1177 22.0357 23.1887 25.4947 27.8007 28.3772 30.1067 30.6832 31.8362 32.4127 32.9892 34.1422 34.7187 残差 -3.3117 2.6823 -0.8357 2.7113 2.0053 -1.5007 -0.1772 -0.5067 -0.4832 -0.4362 -1.6127 0.5108 1.0578 -0.1187 -25.0714285714 -21.0714285714 -9.0714285714 -7.0714285714 -3.0714285714 0.9285714286 1.9285714286 4.9285714286 5.9285714286 7.9285714286 8.9285714286 9.9285714286 11.9285714286 12.9285714286 -17.7642857143 -9.4642857143 -6.0642857143 -1.3642857143 0.2357142857 -0.9642857143 0.9357142857 2.3357142857 2.9357142857 4.1357142857 3.5357142857 6.2357142857 7.9357142857 7.3357142857 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 残差 -3.3117 2.6823 -0.8357 2.7113 2.0053 -1.5007 -0.1772 -0.5067 -0.4832 -0.4362 -1.6127 0.5108 1.0578 -0.1187 94 脂肪含量/% Sheet1 脂肪含量/% Sheet2 残差 Sheet3 n 9 p 0.3 概率 0 0.00 0 0.000470185 0.000470185 1 1 0.0047018498 0.0051720348 2 2 0.0219419659 0.0271140008 3 3 0.0633879016 0.0905019024 4 4 0.1267758032 0.2172777057 5 5 0.1859378448 0.4032155504 6 6 0.2065976053 0.6098131557 7 7 0.1770836617 0.7868968174 8 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169 2 179 71 179 170 3 175 52 175 172 4 179 62 179 177 5 182 82 182 174 6 173 63 173 166 7 180 55 180 174 8 179 81 179 169 9 169 54 169 166 10 177 54 177 176 11 177 59 177 170 12 178 67 178 174 13 174 56 174 170 14 166 66 166 161 15 176 61 176 166 16 176 49 176 165 17 175 60 175 173 18 169 48 169 162 19 184 86 184 189 20 169 58 169 164 21 182 54 182 170 22 171 58 171 164 23 177 61 177 173 24 173 58 173 165 25 173 51 173 169 103(2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 体重/kg 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 103(3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 臂展/cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 103(4) 1 2 3 4 5 6 求和 -2 -1 0 1 2 3 3 -3 -1 1 3 5 7 12 6 1 0 3 10 21 41 4 1 0 1 4 9 19 9 1 1 9 25 49 94 103(4) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 103(5) 1 2 3 4 5 求和 0 1 2 3 4 10 0 1 4 9 16 30 0 1 8 27 64 100 0 1 4 9 16 30 0 1 16 81 256 354 103(5) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 航班正点率 1 2 3 4 5 6 求和 -2 -1 0 1 2 3 3 -8 -1 0 1 8 27 27 16 1 0 1 16 81 115 4 1 0 1 4 9 19 64 1 0 1 64 729 859 航班正点率 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sheet4 1 2 3 4 5 求和 2 1 0 -1 -2 0 0 1.732 2 1.732 0 5.464 0 1.732 0 -1.732 0 0 4 1 0 1 4 10 0 2.999824 4 2.999824 0 9.999648 Sheet4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8.2 1 2 3 4 5 6 7 求和 1 2 4 6 10 14 20 57 19 32 44 40 52 53 54 294 19 64 176 240 520 742 1080 2841 1 4 16 36 100 196 400 753 361 1024 1936 1600 2704 2809 2916 13350 8.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 111 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 70.8 91.4 68.5 758.8 F/N 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125 736 1717.8 4454.4 6511 5147.6 5461.2 6714.6 5126.4 8637.6 1645.2 8562.5 53978.3 6691.24 5898.24 5867.56 5730.49 5446.44 5212.84 5069.44 5012.64 8353.96 4692.25 57975.1 441 3364 7225 4624 5476 8649 5184 14884 324 15625 65796 111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F/N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 113 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.8 3 19.4 F/N 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 6.74 7.4 8.54 9.24 59.85 3.08 4.512 6.034 8.032 9.918 12.5 14.828 17.76 23.912 27.72 128.296 1 1.44 1.96 2.56 3.24 4 4.84 5.76 7.84 9 41.64 9.4864 14.1376 18.5761 25.2004 30.3601 39.0625 45.4276 54.76 72.9316 85.3776 395.3199 113 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F/N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 114 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 114 儿子身高/cm 115 编号 残差 残差 1 174 176 174.943 1.057 174 1.057 2 170 176 171.587 4.413 170 4.413 3 173 170 174.104 -4.104 173 -4.104 4 169 170 170.748 -0.748 169 -0.748 5 182 185 181.655 3.345 182 3.345 6 172 176 173.265 2.735 172 2.735 7 180 178 179.977 -1.977 180 -1.977 8 172 174 173.265 0.735 172 0.735 9 168 170 169.909 0.091 168 0.091 10 166 168 168.231 -0.231 166 -0.231 11 182 178 181.655 -3.655 182 -3.655 12 173 172 174.104 -2.104 173 -2.104 13 164 165 166.553 -1.553 164 -1.553 14 180 182 179.977 2.023 180 2.023 115 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 残差 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 117 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 树高/m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 编号 胸径/cm 树高观测值/m 树高预测值/m 残差/m 胸径/cm 残差/m 1 18.1 18.8 19.35 -0.6 18.1 -0.6 2 20.1 19.2 19.85 -0.7 20.1 -0.7 3 22.2 21.0 20.37 0.6 22.2 0.6 4 24.4 21.0 20.92 0.1 24.4 0.1 5 26.0 22.1 21.32 0.8 26 0.8 6 28.3 22.1 21.90 0.2 28.3 0.2 7 29.6 22.4 22.22 0.2 29.6 0.2 8 32.4 22.6 22.92 -0.3 32.4 -0.3 9 33.7 23.0 23.24 -0.2 33.7 -0.2 10 35.7 24.3 23.74 0.6 35.7 0.6 11 38.3 23.9 24.39 -0.5 38.3 -0.5 12 40.2 24.7 24.86 -0.2 40.2 -0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 残差/m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.8 10.6 10.4 10.3 10.2 10.1 10 9.95 0 0 0 0 0 0 0 0 记录/s 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 11.8 10.6 10.4 10.3 10.2 10.1 10 9.95 0 0 0 0 0 0 0 0 Y/s 0 0 0 0 0 0 0 0 $$