7.2 第1课时 离散型随机变量-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了离散型随机变量的核心知识，涵盖随机变量概念、离散型随机变量判断及事件结果表示，通过情境导入、知识梳理与规律方法总结，构建从具体实例到抽象概念的递进式知识网络，清晰呈现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于以“情境—抽象—应用”为主线，如环保检查情境引导数学抽象，掷骰子、抽球等实例培养数学思维，分层作业（A基础、B综合、C拓展）实现个性化复习，助力学生巩固知识，也为教师提供精准教学支持。

第一课时　离散型随机变量 1 1. 通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念（数学抽象）. 2. 能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义（数学抽象）. 课标要求 为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省（自治区、直辖 市）和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只 要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω. 　　（1）Ω中包含的样本点数目是多少？ 　　（2）设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对Ω中的每一个样本点， X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的 值有哪些？ 情境导入 知识点一 随机变量的概念 01 知识点二 离散型随机变量的判断 02 知识点三 用随机变量表示事件的结果 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 随机变量的概念 01 PART 目 录 问题　（1）某人在射击训练中，射击一次命中的环数能否用数值表示相 应结果呢？ 提示：试验结果：命中1环，命中2环，……，命中10环，可用数值1， 2，…，10表示试验结果. （2）篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结 果可能是什么？ 提示：投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分， 投进三个球——3分. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都 有 的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量. 2. 离散型随机变量：可能取值为 或可以 ⁠的随机变 量，我们称为离散型随机变量，通常用 字母表示随机变量， 用 字母表示随机变量的取值. 　　提醒：随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω 相当于函数定义中的自变量，X（ω）是与ω对应的实数. 唯一　 有限个　 一一列举　 大写英文　 小写英文　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　〔多选〕将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（　　） A. 两次掷出的点数之和 B. 两次掷出的最大点数 C. 第一次与第二次掷出的点数之差 D. 两次掷出的点数 解析： 　将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随 试验结果的变化而变化，所以是一个随机变量，A正确；两次掷出的最大 点数，为随机变量，B正确；第一次与第二次掷出的点数之差也是随机变 量， C正确；而两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对，D错.故选 A、B、C. √ √ √ 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 随机变量X满足三个特征 （1）试验结果可以用数值表示； （2）试验前可以判断其可能出现的所有值（取值是明确的）； （3）在试验前不能确定取何值. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　〔多选〕下列变量是随机变量的是（　　） A. 在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 B. 一台机器在一段时间内出现故障的次数 C. 某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D. 方程x2－2x－3＝0的实根个数 解析： 随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A、 B、C都符合随机变量的定义；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定 的，不是随机变量，故D错误. √ √ √ 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 离散型随机变量的判断 02 PART 目 录 【例2】　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由： （1）某教学资源网站一天内的点击量； 解： 某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机 变量. （2）某市明年下雨的次数； 解： 某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量. （3）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差. 解： 抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连 续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 确定离散型随机变量的方法 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一 列出，则是离散型随机变量；否则不是. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　〔多选〕下列随机变量中，是离散型随机变量的是（　AB　） A. 从5个已编好号码的小球（1号到5号）中任取一个，被取出的小球的号 码 B. 一个袋子中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的 个数 C. 某林场的树木最高可达30 m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 D. 从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定 的外径尺寸之差 AB 数学·选择性必修第三册 目 录 解析：　选项A、B中的随机变量的取值都是有限个，符合离散型随机变量 的定义；C中，所选树木的高度是随机变化的，它可以取（0，30]内的任 意一个值，无法一一列出，不是离散型随机变量；对于D，实际测量值与 规定值之间的差值是随机变化的，它的可能取值充满了某个区间，无法一 一列出，不是离散型随机变量. 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 用随机变量表示事件的结果 03 PART 目 录 【例3】　（链接教材P60练习2题）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从 中任取3个球，其中所含白球的个数X. （1）写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果； 解： X的所有可能的取值为0，1，2，3. “X＝0”表示取出3个黑球； “X＝1”表示取出1个白球2个黑球； “X＝2”表示取出2个白球1个黑球； “X＝3”表示取出3个白球. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后 不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量 类型. 解： 由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值0，1，2，3， 所以Y对应的各值是6，11，16，21， 故Y的可能取值为6，11，16，21， 显然Y为离散型随机变量. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 1. 解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值 对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果. 2. 注意解答过程中不要漏掉某些试验结果. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　〔多选〕抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子 掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是（　　） A. 第一枚6点，第二枚2点 B. 第一枚5点，第二枚1点 C. 第一枚2点，第二枚5点 D. 第一枚6点，第二枚1点 解析： 　因为ξ表示第一枚骰子的点数和第二枚骰子的点数之差，所以 满足ξ＝4的可以是：第一枚6点，第二枚2点；第一枚5点，第二枚1点，故 选A、B. √ √ 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，以下不能作为随机变量的是 （　　） A. 出现7点的次数 B. 出现偶数点的次数 C. 出现2点的次数 D. 出现的点数大于2小于6的次数 解析： 　∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，∴出现7点为不可能事件， ∴出现7点的次数不能作为随机变量. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 〔多选〕下列是离散型随机变量的是（　　） A. 某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B. 某人射击2次，击中目标的环数之和记为X C. 测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X D. 一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X 解析： 　A、B中的随机变量的取值是整数值，是可以列举的，是离散 型随机变量.C、D中的随机变量的取值是连续的实数值，不能一一列举， 不是离散型随机变量. √ √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. （2025·连云港月考）某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打 完就停止射击，设射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是 ⁠ ⁠. 解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，说明前4次均未 击中目标. 前4次未 击中目标 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）随机变量的概念； （2）离散型随机变量的判断； （3）用随机变量表示事件的结果. 2. 应体会 用随机变量表示事件的结果时，应用了列举法. 3. 避易错 用随机变量表示事件的结果时事件列举不全. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 如果X是一个离散型随机变量，则下列结论错误的是（　　） A. X取每一个可能值的概率都是非负数 B. X取所有可能值的概率之和是1 C. X的取值与自然数一一对应 D. X的取值是实数 解析： 　根据概率的性质可得X取每一个可能值的概率都是非负数，A正 确；X取所有可能值的概率之和是1，B正确；X的取值是实数，不一定是 自然数，C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不 放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的 可能取值为（　　） A. 1，2，3，…，6 B. 1，2，3，…，7 C. 0，1，2，…，5 D. 1，2，…，5 解析： 　因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到 了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以 取球次数可以是1，2，3，…，7. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰 子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示试验的结果为（　　） A. 第一枚为5点，第二枚为1点 B. 第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C. 第一枚为6点，第二枚为1点 D. 第一枚为4点，第二枚为1点 解析： 　由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数 的差”，因此“X＞4”只有一种情况，也就是“X＝5”，所以“X＞4” 表示第一枚为6点，第二枚为1点. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地 依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数 为（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 解析： 　由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可 能是1，2，3，4，5中的一个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2， 3，4，5，6，7，8，9，10，共9个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到 找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，但是最后一把钥匙一 定能打开锁，所以试验次数X的最大可能取值为5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕下列给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（　　） A. 高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B. 一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C. 某景点7月份每天接待的游客数量 D. 某人一生中的身高X 解析： 对于A，收费站未来1小时内经过的车辆数X是有限的，且 可一一列出，是离散型随机变量；同理，C中，游客数量也是离散型随 机变量.B、D都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不是离散 型随机变量. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品 个数为X，则X＝k表示的试验结果为（　　） A. 第k次检测到正品 B. 第k＋1次检测到次品 C. 前k－1次检测到正品 D. 前k次检测到正品 解析： 　由题意，得X＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数 为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 在一次考试中，某名同学需回答三个问题，考试规则如下：每个题回答 正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得 分ξ的所有可能取值是 ⁠. 解析：当答对3道题时，X＝300；当答对2道题时， X＝100；当答对1道题 时，X＝－100；当答对0道题时，X＝－300. 300，100，－100，－300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为 X，则“X＜2”表示的试验结果是 ⁠ ⁠. 解析：应分X＝0和X＝1两类：X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1 件次品2件正品. 取到1件次品2件正品或取到3件正 品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 某市公交公司规定：身高不超过120 cm的学生免费乘车；凡身高超过 120 cm的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η（单位： 元），学生的身高用ξ（单位：cm）表示，则ξ和η是不是离散型随机变 量？若是，请写出相应的取值情况. 解：因为每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来， 所以ξ是一个离散型随机变量，其可能取值为本市学生的身高. 因为η＝ 所以η也是一个离散型随机变量，其可能取值为0，0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三 局.用ξ表示甲的得分，则ξ＝3表示（　　） A. 甲赢三局 B. 甲赢一局 C. 甲、乙平局三次 D. 甲赢一局或甲、乙平局三次 解析： 　由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3分成两种情 况，即3＋0＋0或者1＋1＋1，即甲赢一局或甲、乙平局三次.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6， 现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取 值为 ，其中X＝4表示的试验结果有 种. 解析：根据题意可知X的可能取值为3，4，5，6，其中当X＝4时，表示取 得的一球编号为4，另两个球从1，2，3中选取，有 ＝3（种）. 3，4，5，6　 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子 中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝｜x－2｜＋｜ y－x｜，则ξ的所有可能取值为 ⁠. 解析：因为x，y可能取的值为1，2，3，所以0≤｜x－2｜≤1，0≤｜y －x｜≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ的所有可能的取值为0，1，2，3. 0，1，2，3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问 题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目供选择，其中有5道文史类 题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道 题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽 取下一道题目作答.某选手抽到科技类题目的道数为X. （1）试求出随机变量X的可能取值； 解： 由题意得X的可能取值为0，1，2，3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）{X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？ 解： {X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”. 从科技类题目中抽取一道，从文史类和体育类题目中抽取两道，不同的结 果有 ＝378（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游 戏可掷7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2 次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6 分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分X的可 能取值有多少种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解：由题意得，我们知道所产生的不同得分的情况种数如下， 首先，我们把掷中记为A，不中记为B， 情况数为AAAAAAA，此时得分为7＋6＝13， 情况数为AAAAAAB，此时得分为6＋5＝11， 情况数为AAAAABA，此时得分为6＋4＝10， 情况数为AAAAABB，此时得分为5＋4＝9， 情况数为AAAABAB，此时得分为5＋3＝8， 情况数为AAAABBB，此时得分为4＋3＝7， 情况数为AAABABB，此时得分为4＋2＝6， 情况数为AAABBBB，此时得分为3＋2＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 情况数为AABABBB，此时得分为3＋1＝4， 情况数为ABABABB，此时得分为3＋0＝3， 情况数为ABBABBB，此时得分为2＋0＝2， 情况数为ABBBBBB，此时得分为1＋0＝1， 情况数为BBBBBBB，此时得分为0＋0＝0， 其他情况未产生其他得分情况，故省略， 故产生的不同得分的情况种数共13种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $