7.1.2 第2课时 贝叶斯公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件围绕贝叶斯公式展开，从实际问题出发，通过车床次品率、数字通信误码率、流感分布等真实情境引入全概率公式与贝叶斯公式的应用，构建了由“已知原因推结果”到“已知结果溯原因”的逻辑链条，形成清晰的学习支架。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以车床加工案例体现抽象能力与几何直观，用癌症检测实例强化推理意识与数据观念，借助分步计算和比例分析培养运算能力和模型意识。教学中注重从现实问题中提炼数学结构，引导学生理解概率背后的因果逻辑，既提升学生的理性思维与建模能力，又帮助教师高效开展情境化教学，实现知识迁移与学科育人双目标。

贝叶斯公式 Course explanation of Bayesian formula 人教A版 高中数学 选择性必修三 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2、3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起。已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%,. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率。 例题 分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床。有3种可能， 如果说B=“任取一零件为次品”，=“零件为第i台车床加工”(I=1,2,3) 如图，可将事件表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率。 B 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2、3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起。已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%,. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率。 例题 B 解：设B=“任取一零件为次品”，=“零件为第i台车床加工”(I=1,2,3) 则，且两两互斥。 根据题意得P（）=0.25，P（）=0.3，P（）=0.45，P（）=0.06，P（）=P（）=0.05 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2、3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起。已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%,. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率。 例题 B 解：设B=“任取一零件为次品”，=“零件为第i台车床加工”(I=1,2,3) 则，且两两互斥。根据题意得P（）=0.25，P（）=0.3，P（）=0.45，P（）=0.06，P（）=P（）=0.05 （1）由全概率公式得 P(B)=P（）+P（）+P（）=P（）P（）+P（）P（）+P（）P（） =0.25*0.06+0.3*0.05+0.45*0.05=0.0525 0.05 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2、3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起。已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%,. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率。 例题 B 解：（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1,2,3)台车床加工的概率。就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率。 P（|B）= === 类似地，可得P（|B）=，P（|B）= 贝叶斯公式 贝叶斯公式 说明： 当已知抽到的零件是次品（B发生），是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率。 如果是对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，分别是第1、2、3台车床操作员应承担的份额。 贝叶斯公式 贝叶斯公式：设P(B)>0,有 P（|B）==,i=1,2,3.....n 贝叶斯公式 说明：（1）该公式由贝叶斯给出，它是在观察到事件A发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率，贝叶斯公式的思想就是“执果索因”，全概率公式的思想就是“由因推果”。 （2）贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件A）发生的最可能的原因。 贝叶斯公式 例题 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或者1有可能被错误地接受为1或者0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的。 （1）分别求接收信号为0和1的概率. （2）已知接受信号为0，求发送的信号是1的概率。 贝叶斯公式 分析：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0” 为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用下图直观表示。 发送0(A) 发送0(B) 发送1(A) 发送1(B) P(B|A)=0.9 P(B|A)=0.95 P(B|A)=0.9 P(B|A)=0.9 贝叶斯公式 解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0” 则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1” 由题意得P（A)=P()=0.5,P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P(|)=0.95 (1)P(B)=P（A)P(B|A)+P(),P(|)=0.5*0.9+0.5*0.05=0.475 P()=1-P(B)=1-0.475=0.525 (2)P(|B)=== 贝叶斯公式 练习 在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人。 （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 贝叶斯公式 练习 在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人。 （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 解：设A=“选取的人患流感”，用C地区，则P()=5/20,P()=7/20,P()=8/20 P(A|)=6%,P()=5%,P()=4%. (1)由全概率公式，得 P（A）=|)=(5*6%+7*5%+8*4%)=4.85% (2)由贝叶斯公式得，P(|A)=== 贝叶斯公式 练习 两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%。 将两种产品混合，从混合产品中任取一件： （1）求这件产品是合格品的概率； （2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率。 贝叶斯公式 练习 两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%。 将两种产品混合，从混合产品中任取一件： （1）求这件产品是合格品的概率； （2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率。 解：设)=0.4,)=0.6, P(B|)=1-5%=95%,P(B|)=1-4%=96% (1)由全概率公式得，P(A)=)P(B|)+)P(B|)=0.4*0.95+0.6*0.96=95.6% (2)由贝叶斯公式得 P(==39.7% 贝叶斯公式 练习 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验的反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验的反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验结果是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大？ 贝叶斯公式 练习 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验的反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验的反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验结果是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大？ 解：设B=“有疾病，阳性”，B=“无疾病，阳性”，求P(|B) )=0.005,)=0.995 P(B|)=0.95,P(B|)=0.04 P(== 贝叶斯公式 现在来分析一下结果的意义： 1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验，抽查一人，他是患者的概率 P()=0.005 患者阳性反应的概率是P(B|)=0.95,若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(|B)=0.1066 从0.005增加到0.1066，将近增加约21倍。 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。 贝叶斯公式 现在来分析一下结果的意义： 2.检出阳性是否一定患有癌症？ 试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(|B)=0.1066 即使检出阳性，尚可不必过早下结论有癌症，这种可能性只有10.66%（平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症），此时医生常要通过再试验来确认。 贝叶斯公式 现在来分析一下结果的意义： 1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验，抽查一人，他是患者的概率 P()=0.005 患者阳性反应的概率是P(B|)=0.95,若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(|B)=0.1066 从0.005增加到0.1066，将近增加约21倍。 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。 $