第6章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了计数原理、排列与组合、二项式定理等核心内容，通过层级框架将两个计数原理、排列组合的概念公式及应用、二项式定理的展开式与性质串联，构建完整知识网络。 其亮点在于结合例题变式与高考真题，如“学生报名与冠军争夺”等实例，通过反思感悟总结解题步骤，培养数学思维与表达能力。分层设计满足不同学生需求，助力知识巩固，为教师提供系统复习资源。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 数学·选择性必修第三册 素养提升 一、两个计数原理 　　分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进 行计数过程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此在解题中 既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还要考虑步与步 之间的连贯性. 数学·选择性必修第三册 【例1】　（1）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有 a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米跑、跳远、铅球3项比赛的冠军 的可能结果有b种，则（a，b）为（　C　） A. （34，34） B. （43，34） C. （34，43） D. （ ， ） 解析： 每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原 理知共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军，根据分步乘法计 数原理知共有43种可能结果.故选C. C 数学·选择性必修第三册 （2）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的 两个端点异色.如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法共 有 种. 420 数学·选择性必修第三册 解析： 以S→A→B→C→D的顺序分步染色.第1步，对S点染色， 有5种方法；第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法；第3 步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第4步，对C 点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分 类.当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与 S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步 乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（3＋ 2×2）＝420（种）. 数学·选择性必修第三册 （3）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22， 121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99； 3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999；则 ①4位“回文数”有 个； ②2n＋1（n∈N*）位“回文数”有 个. 90 9×10n 数学·选择性必修第三册 解析： ①4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个位数字相 同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选 中间两位数字，有10种选法，故4位“回文数”有9×10＝90（个）. ②第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2， 3，4，…，n，n＋1位数字，共有10×10×10×…×10＝10n（种）选 法，故2n＋1（n∈N*）位“回文数”有9×10n个. 数学·选择性必修第三册 【反思感悟】 应用两个计数原理计数的四个步骤 （1）明确完成的这件事是什么； （2）思考如何完成这件事； （3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类； （4）选择计数原理进行计算. 数学·选择性必修第三册 二、排列与组合（考教衔接） 　　排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着 举足轻重的作用，解决排列与组合问题常用的方法有：（1）合理分 类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排 除；（4）相邻捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）均 分除序，定序除序. 数学·选择性必修第三册 教材原题　（教材P27习题13题）从5名男生和4名女生中选出4人去参加一 项创新大赛. （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种 选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 数学·选择性必修第三册 变式1　排列问题 （2022·新高考Ⅱ卷5题）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇 演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　B　） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 解析：　先将丙和丁捆在一起有 种排列方式，然后将其与乙、戊排列， 有 种排列方式，最后将甲插入中间两空，有 种排列方式，所以不同 的排列方式共有 ＝24种，故选B. B 数学·选择性必修第三册 变式2　组合问题 （2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修 课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门， 则不同的选课方案共有 种（用数字作答）. 解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修 1门，有 种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修 课中选修2门，有 种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺 术类选修课中选修1门，有 种方案.综上，不同的选课方案共有 ＋ ＋ ＝64（种）. 64 数学·选择性必修第三册 变式3　排列与组合的综合问题 一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为 安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间 至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有 种. 解析：先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，（ⓧ表示灯亮；○表示灯灭） ⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧ 再将剩下的三盏灯放进去，若三盏灯在一起，有 ＝5种方法；若分成两 组，有 ＝20种方法；若三盏灯均不在一起，有 ＝10种方法，所以 共有35种方法. 35 数学·选择性必修第三册 【反思感悟】 解决排列、组合问题的注意点 （1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特殊位 置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与“不邻”通常采 用捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部的排列，插空法要注意与 “相间排列”的区别； （2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些元素 取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从剩下的元 素中选取.“至少”或“至多”含有几个元素的组合问题常采用直接法和 间接法，一般来说用直接法分类复杂时，用间接法处理，即正难则反. 数学·选择性必修第三册 三、二项式定理 　　二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整 除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于解决二项式相应展开式中 项的系数问题. 【例2】　（1）在（－1＋ ）（1＋ ）6的展开式中， 的系数为 （　C　） A. －60 B. 60 C. －80 D. 80 C 数学·选择性必修第三册 解析： ∵（1＋ ）6展开式的通项为Tr＋1＝ （ ）r＝2r· · ， ∴原式的展开式中含 的项为（－1）×24 · ＋ ×23 · ＝－ ， ∴ 的系数为－80.故选C. 数学·选择性必修第三册 （2）若（x2＋1）（x－3）9＝a0＋a1（x－2）＋a2（x－2）2＋a3（x－ 2）3＋…＋a11（x－2）11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为 ⁠； 解析： 令x＝2，得a0＝（22＋1）（2－3）9＝－5，令x＝3，得a0＋ a1＋a2＋a3＋…＋a11＝（32＋1）（3－3）9＝0，∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝ －a0＝5. 5 数学·选择性必修第三册 （3）已知（ ＋ ）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该 展开式中系数最大的项. 解：由题意可知 ＋1＝6，解得n＝10，故展开式的通项为Tr ＋1＝ 2r . 设第r＋1项的系数最大， 则 即 解得 ≤r≤ . ∵r∈N，∴r＝7， ∴展开式中的系数最大的项为T8＝ 27 ＝15 360 . 数学·选择性必修第三册 【反思感悟】 1. 处理几个多项式的和、积的展开式或三项式甚至多项式特定项问题，都 是转化为二项式问题，体现了转化与化归的数学思想. 2. 二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切数值都成立.因此， 可以将a，b设定为一些特殊值，在使用赋值法时，令a，b取何值，应视 具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值. 数学·选择性必修第三册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $