章末检测（六） 计数原理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学计数原理单元复习课件系统梳理了分步乘法与分类加法计数原理、排列组合、二项式定理及应用，通过选择填空解答题覆盖各知识点，构建完整知识网络，体现内在逻辑联系。 其亮点在于以实际情境题（如救援队分配、地铁票价）培养数学眼光，分步解答（如插空法、捆绑法）训练数学思维，分层设计基础到综合题满足个性化复习，助力学生巩固知识，教师精准教学。

章末检测（六）　计数原理 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某班设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴 趣小组，每人限报1项，则不同的报名方式种数有（　　） A. 34 B. 36 C. 24 D. 43 解析： 　根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣 小组中任选1个，都有4种选法，由分步乘法计数原理得，共有4×4×4＝43 种不同的选法.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第三册 2. ＋ ＋ ＋ ＝（　　） A. 84 B. 83 C. 70 D. 69 解析： 　 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ －1＝ ＋ ＋ ＋ －1＝ ＋ ＋ －1＝ ＋ －1＝ －1＝ －1＝69. 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 3. 若（x＋ ）（x－ ）5的展开式中常数项是10，则m＝（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 √ 解析： 　（x＋ ）（x－ ）5＝x（x－ ）5＋ （x－ ）5，（x－ ）5的展开式的通项公式为Tr＋1＝ x5－r（－ ）r＝ （－1）rx5－2r， 令5－2r＝－1，解得r＝3，则x（x－ ）5的展开式的常数项为－ ＝－ 10；令5－2r＝1，解得r＝2，则 （x－ ）5的展开式的常数项为m ＝ 10m，因为（x＋ ）（x－ ）5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝ 10，解得m＝2，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 4. 四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻， 且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（　　） A. 288种 B. 144种 C. 96种 D. 72种 解析： 　第一步：先对2名女生进行排队，有 种排法；第二步：将除 甲和乙之外的人进行排队，有 种排法；第三步：甲、乙采用插空的方 式，有 种排法.所以共有 ＝144（种）排法.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 5. 某市的5个区县A，B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（　　） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 解析： 　当B，E同色时，共有4×3×2×2＝48（种）不同的染色方 案；当B，E不同色时，共有4×3×2×1×1＝24（种）不同的染色方案， 所以共有72种不同的染色方案.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 6. 对任意的实数x，x6＝a0＋a1（x－2）1＋a2（x－2）2＋…＋a6（x－ 2）6，则a2＝（　　） A. 60 B. 120 C. 240 D. 480 解析： 　∵x6＝[（x－2）＋2]6＝ （x－2）6＋ （x－2）5·2＋ （x－2）4·22＋ （x－2）3·23＋ （x－2）2·24＋ （x－2）1·25＋ ·26，∴a2＝ ·24＝240.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 7. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展 示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队 前往A，B，C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个 受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两 个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（　　） A. 72 B. 84 C. 100 D. 120 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 解析： 若甲去B点，则剩余4队，可只去A，C两个点，也可分为3组 去A，B，C 3个点.当剩余4队只去A，C两个点时，人员分配为1，3或 2，2，此时的分配方法有 · · ＋ · ＝14（种）；当剩余4队分 为3组去A，B，C 3个点时，先从4队中选出2队，即可分为3组，然后分配 到3个小组即可，此时的分配方法有 · ＝36（种），综上可得，甲去B 点，不同的安排方法数是14＋36＝50.同理，甲去C点，不同的安排方法数 也是50，所以不同的安排方法数是50＋50＝100.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 8. 在二项式（ － ）n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大 时，系数最小的项是（　　） A. 第6项 B. 第5项 C. 第4项 D. 第3项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 解析： 　由题意二项式（ － ）n的展开式中，当且仅当第5项的二 项式系数最大时n＝8.二项展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）8－k·（－ ） k·（ ）－k＝（－ ）k （ ）8－2k，要使其系数最小，则k为奇数.当 k＝1时，（－ ）× ＝－4；当k＝3时，（－ ）3× ＝－7；当k＝5 时，（－ ）5× ＝－ ；当k＝7时，（－ ）7× ＝－ .故当k＝3时 系数最小，则系数最小的项是第4项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 带有编号1，2，3，4，5的五个球，则下列说法正确的是（　　） A. 全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 · 种放法 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有 · 种不同的放法 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 解析： 　五个球投入4个不同的盒子里共有45种放法，A正确；若要放 进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 · 种放法，B错误，D正 确；将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 · 种放法，C正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 10. 若（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则（　　） A. a1＋a2＋…＋a10＝1 B. ｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝310 C. a2＝160 D. ＋ ＋ ＋…＋ ＝－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 解析： 　对于A，（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝ 0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a1＋a2＋…＋a10 ＝0，故A错误；对于B，因为（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜表示（2x＋1）10的各项系数 之和，令x＝1，则｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝310，故B正 确；对于C，a2x2＝ （2x）2·（－1）8＝180x2，所以a2＝180，故C错 误；对于D，因为（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝1，令x ＝ ，则（2× －1）10＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝0，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝－1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 11. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数 学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（　　） A. 第n行各个数的和是2n B. 第2 025行中从左往右第1 014个数与第 1 015个数相等 C. 记第n行的第i个数为ai，则 2i－1ai＝ 4n D. 第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 解析： 　各行的所有数的和是各二项式系数和，第n行各个数的和是 2n，故A正确；对于B，第2 025行有2 026项，从左往右第1 014个数与第 1 015个数分别为 ， ，所以 ＞ ，故B错误；对于 C，第n行的第i个数为ai，则 2i－1ai＝20a1＋21a2＋22a3＋…＋2nan＋1， ∴ 2i－1ai＝ 20＋ 21＋ 22＋…＋ 2n＝（1＋2）n＝3n，故C错 误；对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为 ∶ ＝ ： ＝8∶13，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若 ＝ （n∈N*），则n＝ ⁠. 解析：由题意可知2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－（n＋2），解得n＝－4 （舍去）或n＝4.` 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 13. 某市举办运动会，将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个 表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其 中电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地承办，且各自承办其中一 项.5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其 中一个项目，则不同的安排方法有 种. 解析：首先电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地举办，且各自承办 其中一项有 ＝2（种）安排；再次5个表演项目分别由A，B，C三个场 地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则有 ＋ ＝150 （种），故总数为2×150＝300（种）不同的安排方法. 300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 14. 已知（1＋2 025x）50＋（2 025－x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50， 其中a0，a1，a2，…，a50∈R，若ak＜0，k∈{0，1，2，…，50}，则实 数k的最大值为 ⁠. 解析：因为（1＋2 025x）50的展开式中xk的系数为 ·2 025k，（2 025－ x）50的展开式中xk的系数为 2 02550－k（－1）k，所以（1＋2 025x）50 ＋（2 025－x）50的展开式中xk的系数为 2 025k＋ 2 02550－k（－ 1）k＝ 2 025k[1＋2 02550－2k·（－1）k]，k＝0，1，2，…，50.要使ak ＜0，则k为奇数，且2 02550－2k＞1，所以50－2k＞0，则k＜25，则k的最 大值为23. 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）有2名男生和3名女生排队，按下列要求各有多少 种排法，依题意列式作答： （1）若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法； 解： 先将3名女生进行排列，有 ＝6（种）情况，再将2名男生 插空，有 ＝12（种）情况，故2名男同学不相邻，共有6×12＝72 （种）排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 （2）若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法. 解： 先将两名男生进行排列，有 ＝2（种）情况，再选出1名女生 放在男同学中间，有 ＝3（种）情况，将两名男同学和这名女同学看成 一个整体和剩余的2名女同学进行全排列，共有 ＝6（种）情况，故若2 名男同学中间必须有1人，共有2×3×6＝36（种）排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 16. （本小题满分15分）已知（2 － ）n（n为正整数）. （1）若 ＋ ＋ ＋…＋ ＝64，求该式的展开式中所有项的系数 之和； 解： 由2n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝64可得n＝6， 令x＝1可得（2－ ）6＝16＝1， 所以展开式中所有项的系数之和为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 （2）若 ＋ ＝465，求该式的展开式中无理项的个数. 解： 若 ＋ ＝465，则n＋ ＝465，解得n＝30，或 n＝－31舍去， 设（2 － ）30的通项为Tr＋1＝ （2 ）30－r·（－ ）r＝（－ 1）r 230－r ，且r∈{0，1，2，…，30}， 所以当r＝1，3，5，…，29时可得展开式中的无理项，所以共有15个 无理项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 17. （本小题满分15分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定 按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票 价如下表： 乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12 票价（元） 3 5 7 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不 超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 （1）若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？ 解： 若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3 站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有 ＝24 （种）， 故甲、乙下地铁的方案共有24种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 （2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 解： 若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类： 第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12 站，有 ＝15（种）； 第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四 站至第七站分别为P4，P5，P6，P7，易知甲比乙先下地铁有以下三种 情形： ①甲P4站下，乙下地铁方式有 种；②甲P5站下，乙下地铁方式有 种；③甲P6站下，乙只能从P7下地铁，共有1种方式，共有 ＋ ＋1 ＝6（种）， 依据分类加法计数原理，得15＋6＝21（种）， 故甲比乙先下地铁的方案共有21种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 18. （本小题满分17分）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志 愿者. （1）若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ 解： 从这11人中任选4人的选法有 ＝ ＝330（种）， 其中只有男生的选法有 ＝15（种），只有女生的选法有 ＝5（种）， 故4人中必须既有男生又有女生的选法有330－15－5＝310（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 （2）先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要 有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ 解： 从这11人中任选4人的选法有 ＝330（种）， 若人数按1，3分配，则安排方法有330 ＝2 640（种）， 若人数按2，2分配，则安排方法有330 ＝1 980（种）， 所以共有2 640＋1 980＝4 620（种）安排方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 （3）若男、女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一 排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 解：因为男、女生各需要2人，所以选出4人的方法有 ＝150（种）. 先排2名男生与2名组织者，有 ＝24（种）排法， 再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有 ＝5（种）方法， 所以共有150×24×5 ＝36 000（种）不同的合影方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 19. （本小题满分17分）在（1＋x＋x2）n＝ ＋ x＋ x2＋…＋ x2n－1＋ x2n的展开式中，把 ， ， ，…， 叫做三项式 的n次系数列. （1）求 ＋ ＋ 的值； 解： 因为（1＋x＋x2）3＝ （1＋x）3＋ （1＋x）2x2＋ （1 ＋x）x4＋ x6 ＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6 （在三项式（1＋x＋x2）3中，把1＋x看做整体，即可参照二项式求得三 项式的展开式的各项系数）， 从而 ＝ ＝3， ＝ ＋ ＝7， ＝ ＝3， 故 ＋ ＋ ＝3＋7＋3＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 （2）将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种 非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程 时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也 是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式（1＋x）2n＝（1＋x）n （1＋x）n的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两 边展开式中xn的系数可得 ＝（ ）2＋（ ）2＋（ ）2＋…＋ （ ）2.利用上述思想方法，请计算 － ＋ － ＋…＋ － 的值（可用组合数作答）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 解：因为（1＋x＋x2）99·（x－1）99＝（ ＋ x＋ x2＋ x3＋…＋ x197＋ x198）·（ x99－ x98＋ x97－…＋ x－ ）， 其中含x99项的系数为 － ＋ －…＋ － ， 又（1＋x＋x2）99·（x－1）99＝（x3－1）99， 的展开式中的第r＋1项为 Tr＋1＝（－1）r ， 令3（99－r）＝99，解得r＝66， 所以含x99项的系数为 ＝ ； 所以 － ＋ － ＋…＋ － ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册 $