6.2.2 第1课时 排列数公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦排列数公式的推导与应用，以“29位名人排列顺序”情境导入激发兴趣，通过三位数构成等具体问题抽象出排列数定义，逐步推导乘积式与阶乘式公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合现实情境培养数学眼光，通过问题链引导逻辑推理推导公式，以信号旗排列等实例强化数学建模与运算能力。课堂小结系统梳理知识要点，助力学生构建知识体系，教师可直接利用丰富例题提升教学效率。

第一课时　排列数公式 1 1. 能利用计数原理推导排列数公式（逻辑推理）. 2. 能运用排列数公式解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大 家，要在庆祝会上逐一介绍……，这29位名人大家的排列顺序有多少种？ 这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 情境导入 知识点一 排列数及排列数公式 01 知识点二 排列数的计算与证明 02 知识点三 无约束条件的排列问题 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 排列数及排列数公式 01 PART 目 录 问题　（1）“从写有1，2，3，4的卡片中选取3张，能构成多少个无重复 数字的三位数？” 提示：有4×3×2＝24个无重复数字的三位数. （2）问题（1）中每一个三位数是取出的卡片按“百、十、个”的顺序排 成的一个排列，不同的排列种数就是三位数的个数.若记 表示三位数的 个数，你能得出 的意义和 的值吗？ 提示： 表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即 ＝n（n－ 1）（n－2）. （3）根据问题（2），你认为 有多少个不同排列数？ 提示： ＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有 的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数 符号表示 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 ⁠表 示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成 ＝ .规定0！＝ ⁠ 不同排列　 n！　 n！　 1　 数学·选择性必修第三册 目 录 排列数 公式 乘积式 ＝ ⁠ （m，n∈N*，且m≤n） 阶乘式 ＝ （m，n∈N*，且m≤n） n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　 　 　　提醒：排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n， 最小的因数是n－m＋1；公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n. 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　（链接教材P19例3）（1）用排列数表示：（55－n）·（56－ n）…（69－n）（n∈N*，且n＜55）； 解： 因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有 69－n－（55－n）＋1＝15（个）数，所以（55－n）（56－n）…（69 －n）＝ . （2）计算： . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 排列数的计算方法 （1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整 数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数 （因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用； （2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公 因式，然后计算，这样往往会减少运算量. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　（1）7×8×9×…×15可表示为（　D　） A. B. C. D. 解析： 7×8×9×…×15＝ ＝ . （2） ＝ 　－ 　. 解析： ＝ ＝ ＝－ ＝－ . D － 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 排列数的计算与证明 02 PART 目 录 【例2】　（1）解方程： ＝140 ； 解： 因为 所以x≥3，x∈N*. 由 ＝140 得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1） （x－2）. 化简得4x2－35x＋69＝0， 解得x1＝3，x2＝ （舍去）. 所以原方程的解为x＝3. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求证： － ＝m . 解： 证明：∵ － ＝ － ＝ ·（ －1）＝ · ＝m· ＝m ，∴ － ＝ m . 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 排列数的第二个公式 ＝ 适用于与排列数有关的证明、解方程、 解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意 隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　（1）不等式 ＜6 的解集为（　D　） A. [2，8] B. [2，6] C. （7，12） D. {8} 解析：　由 ＜6 ，得 ＜6× ，化简得x2－19x ＋84＜0，解得7＜x＜12①，又 所以2＜x≤8②，由①② 及x∈N*，得x＝8. D 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求证： ＝（n＋1） . 证明：因为 ＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，（n＋1） ＝ （n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以 ＝（n＋1） . 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 无约束条件的排列问题 03 PART 目 录 【例3】　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信 号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同顺序表示不同的信号，一 共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有 种； 第2类，用2面旗表示的信号有 种； 第3类，用3面旗表示的信号有 种. 由分类加法计数原理，所求的信号种数是 ＋ ＋ ＝3＋3×2＋3×2×1＝15， 故一共可以表示15种不同的信号. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 无约束条件的排列问题 无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制 的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定 顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为 ，从n个元素中选 m个 （m≤n），排列到m个位置上，排列数也是 . 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　用排列数表示下列问题： （1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三 位数？ 解： 本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排 成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数 ，即为没有重复数字的三 位数的个数. （2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ 解： 这是6个元素的全排列问题，其排列数 ，即为一天的课程的排 法种数. 数学·选择性必修第三册 目 录 1. － ＝（　　） A. 480 B. 520 C. 600 D. 1 320 解析： 　 ＝12×11×10＝1 320， ＝10×9×8＝720，故 － ＝1 320－720＝600. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的次序 种数为（　　） A. 4 B. 44 C. 24 D. 48 解析： 　由题意可知，不同的次序种数为 ＝4×3×2×1＝24. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 不等式 －n＜7的解集为 ⁠. 解析：由 －n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理得n2－4n－5 ＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所以n ＝3或n＝4. 4. 用0～9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数. 解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有 种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取 出2个，有 种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 × ＝9×9×8＝648. {3，4} 648 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）排列数及排列数公式； （2）排列数的计算与证明； （3）无约束条件的排列问题. 2. 应体会 （1）排列数的计算与证明常应用方程思想； （2）利用排列数公式解决实际问题时，要注意分类讨论思想的应用. 3. 避易错 忽视 中“m，n∈N*”这个条件. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（　　） A. 25种 B. 55种 C. 种 D. 53种 解析： 不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法有 种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 已知 － ＝10，则n的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析： 　由 － ＝10，得（n＋1）n－n（n－1）＝10，解得n ＝5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 乘积m（m＋1）（m＋2）（m＋3）…（m＋20）可表示为（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的数为m＋20，且 共有m＋20－m＋1＝21（个）因式，所以m（m＋1）（m＋2）…（m＋ 20）＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起的聊 天次数为（　　） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解析： 　由题意得共需发起的聊天次数为 ＝5×4＝20. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和 1名售票员，则可能的分配方法有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 2 种 解析： 　司机、售票员各有 种分配方法，由分步乘法计数原理知，共 有 种不同的分配方法. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕下列各式中与排列数 相等的是（　　） A. B. n（n－1）（n－2）…（n－m） C. D. · 解析： 　∵ ＝ ，A正确；而 · ＝n· ＝ ，∴ ＝ · ，D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的 个数为（　　） A. B. C. D. － 解析： 　①（直接法）：因为末位数字排法有 种，其他位置排法有 种，共有 × 个.②（间接法）： － × .故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 计算 ＋ ＝ ⁠. 解析：由条件得 得n＝3，所以 ＋ ＝ ＋ ＝726. 726 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1 名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 ⁠ 种不同的招聘方案（用数字作答）. 解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名 大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以 不同的招聘方案共有 ＝5×4×3＝60（种）. 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 10. （1）解不等式：3 ≤2 ＋6 ； 解： 由题意可知，x∈N*且x≥3， 因为 ＝x（x－1）（x－2）， ＝（x＋1）x， ＝x（x－1）， 所以原不等式可化为3x（x－1）（x－2）≤2x（x＋1）＋6x（x－ 1），整理得（3x－2）（x－5）≤0， 所以 ≤x≤5.又x∈N*且x≥3， 所以原不等式的解集为{3，4，5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）解方程：3 ＝4 . 解： 3 ＝4 可化为3× ＝4× ，即3× ＝ 4× ，化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13，由题 意知 解得1＜x≤8，故原方程的解为x＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 〔多选〕下列等式一定成立的是（　　） A. ＝（n－2） B. ＝ C. n ＝ D. ＝ 解析： 　A中，右边＝（n－2）（n－1）n＝ ＝左边；C中，左 边＝n（n－1）（n－2）×…×2＝n（n－1）（n－2）×…×2×1＝ ＝右边；D中，左边＝ · ＝ ＝ ＝右边；只有 B不正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 化简： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 　1－ 　　　. 解析：因为 ＝ － ＝ － ，所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝（1 － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝1－ . 1－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 若M＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，则M的个位数字为 ⁠. 解析：∵当n≥5时， ＝1×2×3×4×5×…×n＝120×…×n，∴当 n≥5时， 的个位数字为0，又∵ ＋ ＋ ＋ ＝1＋2＋6＋24＝ 33，∴M的个位数字为3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.从0，3，4，5， 6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作为圆心的横坐标、纵 坐标和圆的半径.求： （1）可以做多少个不同的圆？ 解： 可分两步完成：第一步，选r，因为r＞0，所以r有 种选法， 第二步，选a，b，在剩余8个数中任取2个，有 种选法，所以由分步乘 法计数原理可得有 · ＝448个不同的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）经过原点的圆有多少个？ 解： 若圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，则a，b，r满足a2 ＋b2＝r2， 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组， 考虑a，b的顺序，有2 种情况， 即符合题意的圆有2 ＝4个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？ 解： 圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10， 则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6. 当a，b取10，0时，r有7种情况， 当a，b取3，7或4，6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a，b的顺序，有 种情况， 所以满足题意的圆共有 （ ＋2 ）＝38个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第三册 目 录 $