6.3 培优课 二项式定理的综合应用 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项式定理的综合应用，涵盖两个多项式乘积特定项、三项展开式、整除与余数问题，通过例题导入，从二项式展开基础过渡到综合应用，搭建从简单到复杂的学习支架。 其亮点是分层次例题与训练结合，用组合分解法等培养数学思维，规律方法总结强化数学语言表达。如整除问题构造二项式体现数学眼光，提升学生运算与推理能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

培优课　二项式定理的综合应用 能力提升 1 1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题（数学运算）. 2.能利用二项式定理解决整除（余数）问题（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 一、求两个二项式乘积的特定项问题 【例1】　（1）（ － ）5（x＋2）的展开式中常数项为（　A　） A. －10 B. －5 C. 5 D. 10 解析： （ － ）5展开式的通项Tr＋1＝ （－ ）r＝ （－1）r ，r∈N，r≤5，显然 ≠－1，则当 ＝0，即r＝1 时，T2＝（－1） ＝－5，所以（ － ）5（x＋2）的展开式中常数 项为－5×2＝－10.故选A. A 数学·选择性必修第三册 （2）（ －y）（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　A　） A. －60 B. －80 C. 100 D. 120 解析： 法一　由于（2x＋y）5的展开式的通项Tr＋1＝ （2x）5－ryr ＝ 25－rx5－r·yr，故（ －y）·（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为 ×22－ ×23＝－60. A 数学·选择性必修第三册 法二　若 －y中选取 ，则在（2x＋y）5的展开式中选取含x2y3的项，即 （2x）2y3＝40x2y3，二者相乘得20x3y3；若 －y中选取－y，则在 （2x＋y）5的展开式中选取含x3y2的项，即 （2x）3y2＝80x3y2，二者 相乘得－80x3y3.故（ －y）（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为20－80 ＝－60，故选A. 数学·选择性必修第三册 【规律方法】 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 数学·选择性必修第三册 训练1　（1）若（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋ 2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为 ⁠； 解析： 由（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝32， 故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）k x5－kyk，故x2y4的项为 （－1 ＋（－1 2 ，k1＝4，k2＝3，即 （－1）4 x2y4＋（－1）32 x2y4＝－15x2y4. 所以（x＋2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为－15. －15 数学·选择性必修第三册 （2）已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则a ＝ ⁠. 解析： （x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝ 2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝ （舍去）； 令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－ a 22＝－240，解得a＝4. 4 数学·选择性必修第三册 二、求三项展开式中的特定项问题 【例2】　（1）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　C　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 解析： 法一　（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为T3＝ （x2＋x）3y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为 x4x＝ x5.所以x5y2的 系数为 ＝30. C 法二　（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2， 一个取x可得含x5y2的项.所以x5y2的系数为 ＝30. 数学·选择性必修第三册 （2）（ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项是 　　​ 　　.（用数字 作答） ​ 解析： 法一　原式＝（ ）5＝ ·[（x＋ ）2]5＝ ·（x＋ ）10.求原式的展开式中的常数项，转化为求（x＋ ）10的 展开式中含x5的项，T6＝ ·（ ）5x5，∴所求的常数项为 ＝ . 数学·选择性必修第三册 法二　（ ＋ ＋ ）5是5个三项式（ ＋ ＋ ）相乘，常数项的产生 有三种情况：①在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中，从其中1个三项式 中取 ，剩余的4个三项式中选2个取 ，其余选2个取 ，则满足条件的乘 积为 · · （ ）2 ＝ ；②在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ） 中，从其中3个三项式中取 ，剩余的2个三项式分别取 与 各一个，则 满足条件的乘积为 （ ）3· ·（ ）· ＝20 ；③从5个相乘的三项 式（ ＋ ＋ ）中都取常数 ，得 （ ）5＝4 .综上，展开式中的常数项为 ＋20 ＋4 ＝ . 数学·选择性必修第三册 【规律方法】 解决三项展开式问题的方法 数学·选择性必修第三册 训练2　（1）（x4＋ ＋2x）5的展开式中，x5项的系数为（ ） A. 160 B. 210 C. 120 D. 252 解析： 原式＝（x4＋ ＋2x）5＝（x2＋ ）10，则Tk＋1＝ （x2） 10－k（ ）k＝ x20－3k，令20－3k＝5，得k＝5，∴T6＝ x5＝252x5， 则x5项的系数为252. D 数学·选择性必修第三册 （2）（x－2y＋z）8的展开式共有 项，其中含x3y3z2的项的系 数是 .（用数字作答） 解析： 因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝ （x－2y）8＋ （x－2y）7z＋…＋ （x－2y）z7＋ z8，由二项式定理可知，（x ＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展开式共有9＋8＋… ＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋z）连乘，欲求x3y3z2的系 数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中选定三个（x－2y＋z）内提供x， 在剩下的5个（x－2y＋z）中选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最 后两个（x－2y＋z）提供z，则x3y3z2的系数是 · （－2）3· ＝－4 480. 45 －4 480 数学·选择性必修第三册 三、有关整除或求余数问题 【例3】　（1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期 （　A　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 解析：　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝ （7＋1）10＝710＋ ×79＋…＋ ×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第 810天相当于第1天，故为星期一. A 数学·选择性必修第三册 （2）用二项式定理证明1110－1能被100整除. 证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1＝（1010＋ ×109＋…＋ ×10＋1）－1 ＝1010＋ ×109＋ ×108＋…＋102＝100（108＋ ×107＋ ×106 ＋…＋1）. 故1110－1能被100整除. 数学·选择性必修第三册 【规律方法】 整除性问题或求余数问题的处理方法 （1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式； （2）用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数（或与 除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考 虑后面（或者是前面）的几项就可以了. 数学·选择性必修第三册 训练3　（1）实数1.026的近似值（精确到0.01）为（　B　） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.20 解析：　1.026＝（1＋0.02）6＝1＋ ×0.02＋ ×0.022＋ ×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13. B 数学·选择性必修第三册 （2）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，求实数a的值. 解：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋ 119×（－ 1）＋…＋ （－1）10]＋a＝3（1110－ 119＋…－ ×11）＋3×1 ＋a. 因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除. 又因为0≤a＜11，所以a＝8. 数学·选择性必修第三册 1. 在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 解析： 　因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝ xk，所以x（1＋x） 6的展开式中含x3的项为 x3＝15x3，所以含x3项的系数为15. √ 数学·选择性必修第三册 2.9192被100除所得的余数为（　　） A. 1 B. 81 C. －81 D. －1 解析： 9192＝（90＋1）92＝ ×9092＋ ×9091＋…＋ ×902＋ ×90＋ .前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显 然8 281除以100所得的余数为81.故9192被100除所得的余数为81. √ 数学·选择性必修第三册 3. （x＋y＋2z）5展开式中xy2z2项的系数为 ⁠. 解析：（x＋y＋2z）5展开式中的xy2z2项可以看成在5个因式（x＋y＋ 2z）中，有1个因式中取x，剩下的4个因式中2个取y，2个取2z相乘而 得，即 x y2 （2z）2＝120xy2z2，所以展开式中xy2z2项的系数为120. 120 数学·选择性必修第三册 课堂小结 1. 理清单 （1）两个二项式乘积与三项展开式问题； （2）整除和余数问题及近似值问题. 2. 应体会 求解两个二项式乘积与三项展开式问题要注意分类讨论思想的应用. 3. 避易错 分类不当，重复或遗漏. 数学·选择性必修第三册 课时作业 目 录 1. （x2＋2）（ －1）5展开式的常数项是（　　） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 解析： （ －1）5展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）5－k（－1）k＝ （－1）k .令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.故（x2 ＋2）·（ －1）5的展开式的常数项是（－1）4× ＋2×（－1）5× ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·选择性必修第三册 2. （1＋2x＋3x2）5展开式中x3的系数为（　　） A. 200 B. 230 C. 120 D. 180 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 解析： 　（1＋2x＋3x2）5＝ ，由通项公式可得Tr＋1 ＝ （2x＋3x2）r，r＝0，1，2，3，4，5，则x3的系数由（2x＋3x2）r 来确定，由其通项公式可得 ＝ （2x）r－k（3x2）k＝ ×2r－ k×3k×xr＋k，k＝0，1，…，r.由r＋k＝3（k≤r，r∈N*，k∈N）， 得 或 所以x3的系数为 ×23×30＋ ×21×31＝80 ＋120＝200.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 3. 设n∈N*，则 ×1n×80＋ ×1n－1×81＋ ×1n－2×82＋ ×1n－ 3×83＋…＋ ×11×8n－1＋ ×10×8n除以9的余数为（　　） A. 0 B. 8 C. 7 D. 2 解析： 　因为 1n80＋ 1n－181＋ 1n－282＋ 1n－383＋…＋ 118n－1＋ 108n＝（1＋8）n＝9n，所以除以9的余数为0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 4. 在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是首项为 －2，公差为3的等差数列的（　　） A. 第11项 B. 第13项 C. 第18项 D. 第20项 解析： 　（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数为 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的 通项公式为an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解 得n＝20. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 5. 在（x＋y2－1）（x2－y－1）6的展开式中，x2y4的系数为（　　） A. －60 B. －30 C. －20 D. 20 解析： 　先求 展开式中含xy4，x2y2，x2y4的项，易知 （x2－y－1）6＝[x2＋（－y－1）]6，显然其不含xy4，含x2y2，x2y4的项 分别为： （x2） （－y）2（－1）3， （x2） （－y）4（－1） 1，所以在（x＋y2－1） 的展开式中，x2y4的系数为 × （－1）3＋（－1）× × （－1）1＝－30.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 6. 〔多选〕（1＋x2）（2＋x）4的展开式中（　　） A. x3的系数为40 B. x3的系数为32 C. 常数项为16 D. 常数项为8 解析： 　（1＋x2）（2＋x）4＝（2＋x）4＋x2（2＋x）4，展开式中x3 的系数分为两部分，一是（2＋x）4中含x3的系数 ·2＝8，二是（2＋x） 4中含x项的系数 ·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确，B错 误；展开式中常数项只有（2＋x）4展开式的常数项24＝16，故C正确，D 错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 7. 〔多选〕对于二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*），以下判断正 确的有（　　） A. 存在n∈N*，使展开式中有常数项 B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C. 对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D. 存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 解析： 　（ ＋ ）n的展开式的通项为Tr＋1＝ ·3r· ，r＝0， 1，2，…，n，（ ＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝ · ，k＝0， 1，2，…，n.则二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*）的展开式的通 项为 ·3r· · ·x4k－n，未知数x的次数为 ＋4k－n＝－ － ＋ 4k，令－ － ＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一 组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×3× ＝75，故展开式中有常 数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－ － ＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×30×x3× × ＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 8. （x＋y＋3）5展开式中不含y的各项系数之和为 ⁠. 解析：由（x＋y＋3）5＝[（x＋3）＋y]5，则展开式的通项为Tk＋1＝ （x＋3）5－kyk，当k＝0时，不含y的项，T1＝ （x＋3）5＝（x＋3） 5，令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45＝1 024. 1 024　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 9. 若（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数为30，则a＝ ⁠. 解析：（x＋ ）10的展开式的通项为Tr＋1＝ x10－r（ ）r＝ x10－2r， 令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为 ；令10－2r＝6，解得r＝ 2，所以x6的系数为 ，所以（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数 为 －a ＝30，解得a＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 10. 求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除. 证明：32n＋2－8n－9＝（8＋1 －8n－9 ＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82＋ 8＋ －8n－9 ＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82＋8（n＋1）＋1－8n－9 ＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82. 上式中的每一项都含有82，故原式能被64整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 11. 请利用二项式定理证明：3n＞2n2＋1（n≥3，n∈N*）. 证明：当n≥3，n∈N*时，3n＝（1＋2）n＝1＋ ·2＋ ·22＋…＋2n＞1 ＋ ·2＋ ·22 ＝1＋2n＋2n（n－1）＝2n2＋1， 所以结论成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 12. 已知（ax2＋ ）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数 和为－1. （1）求n和a的值； 解： 由条件可得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 （2）求（2x－1）（ax2＋ ）n的展开式中的常数项. 解： （2x－1）（ax2＋ ）n＝（2x－1）（－2x2＋x－1）7. ∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝ （－2x2）7－k（x－1）k＝ （－2）7－kx14－3k. ∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x· （－2）2x－1＝168； 当14－3k＝0，即k＝ 时，舍去. ∴所求的常数项为168. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 $