6.2.1 排列-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“排列”核心内容，涵盖排列概念、树状图法及简单排列问题，通过回顾上节课分步乘法计数原理的繁琐，引出排列的简捷方法，搭建从计数原理到排列的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以问题驱动，通过从3个元素取2个排列等实例抽象概念（数学抽象），用树状图法解决两位数组成等问题（数学建模），结合火车票种数等实际案例培养运算能力（数学运算）。课堂小结梳理知识清单，助力学生构建体系，教师可利用分层训练提升教学效果，培养学生逻辑思维与应用能力。

6.2.1　排列 1 1. 通过实例，理解排列的概念（数学抽象）. 2. 能应用排列知识解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 在上节课中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复 性工作而显得烦琐.能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？ 情境导入 知识点一 排列的有关概念 01 知识点二 画树状图写排列 02 知识点三 简单的排列问题 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 排列的有关概念 01 PART 目 录 问题　（1）从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序 排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 提示：所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的排列方法种 数为3×2＝6. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按照一定的顺序 排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 提示：所有不同的排列是 abc，abd，acb，acd，adb，adc， bac，bad，bca，bcd，bda，bdc， cab，cad，cba，cbd，cda，cdb， dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 不同的排列方法种数为4×3×2＝24. （3）上述问题（1）（2）的共同特点是什么？ 提示：问题（1）和问题（2）都是研究从一些不同元素中取出部分元素， 并按照一定的顺序排成一列的方法数. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照 ⁠ 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 　　提醒：排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的 顺序排成一列”. 一 定的顺序　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　判断下列问题是否为排列问题： （1）北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设 往返的票价相同）； 解： 票价只有三种，虽然往返的机票是不同的，但票价是一样的， 不存在顺序问题，所以不是排列问题. （2）选2个小组分别去植树和种菜； 解： 植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. （3）选2个小组去种菜； （4）选10个人组成一个学习小组； 解：（3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题. 数学·选择性必修第三册 目 录 （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员. 解： 每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存 在顺序问题，属于排列问题. 所以在上述问题中，（2）（5）是排列问题，（1）（3）（4）不是排列 问题. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相减；②相乘；③相 除；④一个为被开方数，一个为根指数，其中为排列问题的是 ⁠ （填序号）. 解析：从4个不同的数字中，每次取出两个相乘的时候，两个数字交换顺 序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以②不是排列问题；相减， 相除，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述三种操作，两个数字一 旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以①③④属于排列 问题. ①③ ④ 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 画树状图写排列 02 PART 目 录 【例2】　（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成没有重复数字 的两位数，一共可以组成多少个？ 解： 由题意作出树状图如图： 故组成的所有没有重复数字的两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以组成12个. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四 个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不 能种3号小麦，一共有多少种不同的试种方案？ 解： 画出树状图，如图所示， 由树状图可知，共有11种不同的试种方案. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 （1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种 比较有效的表示方式； （2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素 为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行， 直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有 可能站法. 解：由题意作“树状图”，如图： 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 简单的排列问题 03 PART 目 录 【例3】　（链接教材P16例1、例2）用具体数字表示下列问题： （1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； 解：从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母， 其商共有100×99＝9 900（个）. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； 解： 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”. 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字. 因此共有3×2×1＝6（个）. 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每 名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方 案的个数. 解： 可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到 4家单位. 故共有5×4×3×2＝120（个）分配方案. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 解决简单的排列实际应用问题的策略 （1）首先明确要研究的元素是什么，有无顺序； （2）在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　（1）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇 江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不 同的火车票的种数为（　B　） A. 15 B. 30 C. 12 D. 36 解析： 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票 不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对 应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种 排列，故不同的火车票有6×5＝30（种）. B 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师 完成精加工，其中粗加工要完成A，B，C，D四道工序且不分顺序，精 加工要完成E，F，G三道工序且E为F的前一道工序，则完成该工艺品 加工不同的方法有（　C　） A. 144种 B. 96种 C. 48种 D. 112种 解析： 由题意可知，粗加工工序的排法种数为4×3×2×1＝24.将 E，F进行捆绑，且E为F的前一道工序，精加工工序的排法种数为2.由分 步乘法计数原理可知，完成该工艺品加工不同的方法有24×2＝48（种）. 故选C. C 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 〔多选〕下列问题是排列问题的是（　　） A. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组 B. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动 C. 从a，b，c，d这4个字母中取出2个 D. 从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数 解析： A中，选出的2名参加数学和物理小组，与顺序有关，是排列 问题；D中，两位数与位置顺序有关，是排列问题；B和C中与顺序无关. √ √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 李老师要给4个同学轮流进行心理辅导，每个同学1次，则轮流次序共有 （　　） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 解析： 　从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中任选1个 同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最后剩下1个同学. 按分步乘法计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24（种）. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数 为 ⁠. 解析：列“树状图”如图，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4种 排列方法. 　　 4.12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名， 每人最多获得一种奖项，共有 种不同的获奖情况. 解析：共有12×11×10＝1 320（种）不同的获奖情况. 4 解析：列“树状图”如图，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4种 排列方法. 1 320　 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）排列的有关概念； （2）画树状图写排列； （3）简单的排列问题. 2. 应体会 对于排列问题要注意树状图法的应用. 3. 避易错 在一个排列中同一个元素不能重复出现. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 下列问题是排列问题的是（　　） A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B. 平面上有2 025个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构 成多少条线段 C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个 D. 从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、 独舞节目，有多少种选法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： A中握手次数的计算与次序无关，B中线段的条数计算与点的次 序无关，C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都不 是排列问题.D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参 加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列 问题.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 2.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为（　　） A. 3 B. 24 C. 34 D. 43 解析： 　3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，相当于从4个不同元 素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“6”，则由这四张卡片可组 成的不同的四位数的个数为（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 解析：B　组成的四位数列举如下：2026，2062，2206，2260，2602， 2620，6022，6202，6220，共9个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的 四位数有（　　） A. 9个 B. 12个 C. 15个 D. 18个 解析： 本题要求首位数字是1，且恰有三个相 同的数字，用树状图表示为： 由此可知共有12个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲，乙，丙，丁4名 双语志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分 配到同一展台的不同分法的种数为（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 解析： 因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看 成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1＝6（种）， 所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕已知甲、乙等5人站一横排，则下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙站两端有14种站法 B. 甲、乙站两端有12种站法 C. 甲、乙不站两端有108种站法 D. 甲、乙不站两端有36种站法 解析： 　甲、乙两人站两端有2×3×2×1＝12（种）.甲、乙两人不站 两端分两步进行：第1步，甲、乙站中间3个位置中的2个位置有3×2＝6 （种）站法；第2步，其余3个人任意排列有3×2×1＝6（种），所以共有 6×6＝36（种）站法，D正确.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 7.2025北京车展期间，某调研机构准备从6人中选2人去调查E3馆、E4馆 的参观人数，则不同的安排方法种数为 ⁠. 解析：由题意可知，问题为从6个元素中选2个元素的排列问题，所以安排 方法有6×5＝30（种）. 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 某高三毕业班有40人，同学之间彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全 班共写了 条毕业留言（用数字作答）. 解析：根据题意，得40×39＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言. 1 560 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 有A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第 一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？试写出所有的排列. 解：因为A不排第一，排第一位的情 况有3类（可从B，C，D中任选一 人排），而此时兼顾分析B的排法， 列树状图如图. 所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC， BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA， DCBA，共14种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相 同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 解析： 　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6 （种）不同的排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同 的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，因此共有2×1×1＝2 （种）不同的排法.综上共有6×2＝12（种）不同的排法.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1＞a2，a3＞a2，a3＞a4的排列 个数是 ⁠. 解析：首先注意a1位置的数比a2 位置的数大，可以借助树状图进 行筛选.满足a1＞a2的树状图是其中满足a3＞a2的树状图是再满足a3＞a4的排列有2143，3142，3241，4132，4231，共5个. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： （1）各位数字互不相同的三位数有多少个？ 解： 三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一. 第一步，得首位数字，有6种不同结果， 第二步，得十位数字，有5种不同结果， 第三步，得个位数字，有4种不同结果， 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120（个）. （2）可以排出多少个不同的三位数？ 解： 三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一 个，共有这样的三位数6×6×6＝216（个）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 目 录 $