6.2 培优课 排列与组合的综合应用 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦排列与组合的综合应用，核心涵盖定序问题及分类与分步交叉综合问题，通过复习全排列知识引入定序问题解法，搭建从基础到复杂的学习支架，帮助学生逐步掌握综合应用思路。 其亮点在于采用“整体法”“插空法”解决定序问题，结合分类讨论处理“类中有步”“步中有类”问题，体现数学抽象与数学运算素养。例题融入参观、涂色等实际情境，引导学生用数学思维分析问题，课堂小结梳理方法避易错，助力学生提升解题能力，教师可通过分层训练优化教学效果。

培优课　排列与组合的综合应用 能力提升 1 1.理解定序问题，并会用排列组合公式解决与定序有关的实际问题（数 学抽象、数学运算）. 2.会解决分类与分步的交叉综合问题（数学建模、数学运算）. 重点解读 一、定序问题 【例1】　6人站成一排. （1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？ 解： 甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有 ＝360 （种）不同的排法. （2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不 同的排列方法？ 解： 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右 顺序的排法种数占全排列种数的 .故有 ＝120（种）不同的排法. 数学·选择性必修第三册 【规律方法】 定序问题的求解方法 n个不同元素的全排列有 种排法，m个特殊元素的全排列有 种排法. 当这m个元素顺序确定时，共有 种排法. 数学·选择性必修第三册 训练1　用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3， 5，7的顺序一定，求有多少个符合条件的七位数？ 解：法一（直接转化法）　七个位置先安排2，4，6三个数的排法为 ， 然后1，3，5，7的顺序按照要求只能是1种，由分步乘法计数原理得符合 条件的七位数的个数为 ×1＝210. 法二（重复插空法）　先将1，3，5，7按固定顺序排好，这四个数有5个 空隙，将2插入，有5个空隙可以选择，然后再将4插入，有6个空隙可以选 择，最后将7插入，有7个空隙可以选择，所以由分步乘法计数原理得符合 条件的七位数的个数为5×6×7＝210. 数学·选择性必修第三册 二、排列与组合的综合问题 角度1　“类中有步”的计数问题 【例2】　甲、乙、丙、丁四个人中秋节分别选择到东湖公园、茶经楼、 历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不 同的参观方式共有（　　） A. 24种 B. 96种 C. 174种 D. 175种 √ 数学·选择性必修第三册 解析： 　按照去茶经楼的人数进行分类讨论.第一类，若4个人均去茶经 楼，则有1种参观方式；第二类，若有3个人去茶经楼，分两步，从4个人 中选择3个人去茶经楼，余下1个人从另外的3处景点中任意选择一处，有 ＝12（种）参观方式；第三类，若有2个人去茶经楼，分三步，从4个 人中选择2个人去茶经楼，余下2个人分别从另外的3处景点中任意选择一 处，有 ＝54（种）参观方式；第四类，若有1个人去茶经楼，分四 步，从4个人中选择1个人去茶经楼，余下3个人分别从另外的3处景点中任 意选择一处，有 ＝108（种）参观方式.综上，由分类加法计数 原理，共有1＋12＋54＋108＝175（种）参观方式，故选D. 数学·选择性必修第三册 角度2　“步中有类”的计数问题 【例3】　如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少 使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区 域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂2种不同颜色的涂色方法共 有 种；区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂4种不 同颜色的涂色方法共有 种. 24 216 数学·选择性必修第三册 解析：区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂2种不同颜色，则 区域A和C同色，B和D同色，A1和C1同色，B1和D1同色，所以先涂区域 A和C，B和D，从4种颜色中选两种，有 种.再涂区域A1和C1，B1和 D1，用另外两种颜色去涂，有 种.所以由分步乘法计数原理共有 ＝ 24（种）涂色方法.设四种不同的颜色为a，b，c，d，第一步先涂区域 A，B，C，D共有 ＝24（种）方法； 数学·选择性必修第三册 第二步涂区域A1，B1，C1，D1，在给区域A1，B1，C1，D1涂色时，与相 应的区域A，B，C，D颜色不能相同，不妨设区域A，B，C，D对应的 颜色是a，b，c，d，那么区域A1，B1，C1，D1对应的颜色可能情况有 如下几类，（b，a，d，c），（b，c，d，a），（b，d，a，c）， （c，a，d，b），（c，d，a，b），（c，d，b，a），（d，a，b， c），（d，c，a，b），（d，c，b，a），共9种情况，所以共有 24×9＝216（种）涂色方法. 数学·选择性必修第三册 【规律方法】 1. 解排列与组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题 意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列. 2. 解排列与组合综合问题时要注意的两点 （1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问 题，有序的问题是排列问题； （2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后 再考虑是分类还是分步，这是处理排列与组合综合问题的一般方法. 数学·选择性必修第三册 训练2　（1）已知集合A＝{4，5，6，7}，B＝{5，6，7，8，9}，从集合 A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成无重复数字且比5 000大的自然数的个数为（　C　） A. 180 B. 300 C. 468 D. 564 C 数学·选择性必修第三册 解析： 由两个集合中的数字大小，以及要求组成比5 000大的自然 数，可分为两类讨论：第一类，若从集合A中取出元素4，则4不能作千位 上的数字，只能先排在个位、十位或百位上，有 种方法，再从B中选3 个数字排在另外三个数位上有 种方法，从而共有 ＝180（个）满足 题意的自然数.第二类，从集合A中的元素5，6，7中取1个，有3种方法， 若集合A中取出元素5，则集合B只能从6，7，8，9中取3个数字，有 种 取法，故可有 （个）满足题意的自然数.集合A中取元素6，7时同 理，故共有3 ＝288（个）满足题意的自然数.综上，由分类加法计数 原理可得，满足题意的自然数共有180＋288＝468（个），故选C. 数学·选择性必修第三册 （2）将6个不同的乒乓球全部放入两个不同的球袋中，每个球袋中至少放 1个乒乓球，则不同的放法有（　B　） A. 82种 B. 62种 C. 112种 D. 84种 解析： 先将6个不同的乒乓球分为两组，可分为1个和5个，2个和4 个，3个和3个三种情况，共有 ＋ ＋ ＝31（种）分法，再将分好 的两组分别放入不同的球袋中，则共有31× ＝62（种）放法. B 数学·选择性必修第三册 1. 有4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑 第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（　　） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 24种 解析： 　若不考虑限制条件，4名队员全排列共有 ＝24（种）排法， 减去甲跑第一棒的 ＝6（种）排法，乙跑第4棒的 ＝6（种）排法，再 加上甲在第一棒且乙在第四棒的 ＝2（种）排法，共有 －2 ＋ ＝14（种）不同的出场顺序. √ 数学·选择性必修第三册 2. 某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传 活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有 种. 解析：①将5人分为3组，要求A，B两人在同一组而C，D不在同一组， 有 ＋（ －1）＝5（种）分组方法；②将分好的3组全排列，安排到三 个地区，有 ＝6（种）安排方法.由分步乘法计数原理，则有5×6＝30 （种）不同的分配方法. 30 数学·选择性必修第三册 3. 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. （1）其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ 解： 法一（整体法）　5位嘉宾无约束条件的全排列有 种，其中3 位老者不考虑年龄的顺序有 种. 因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有 ＝20（种）. 法二（插空法）　记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”.则 三人形成四个空档（含两端）. ①若2个年轻人出场顺序相邻，有 · 种顺序，②若2个年轻人出场顺序 不相邻，有 种顺序. 因此满足条件的出场顺序有 · ＋ ＝20（种）. 数学·选择性必修第三册 （2）3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，出场顺序有 多少种？ 解： 设符合条件的排法共有x种， 用（1）的方法可得x· · ＝ ， 解得x＝ ＝10. 因此出场顺序有10种. 数学·选择性必修第三册 课堂小结 1. 理清单 （1）定序问题； （2）“类中有步”的计数问题； （3）“步中有类”的计数问题. 2. 应体会 解决“类中有步”及“步中有类”的计数问题时要注意分类讨论思想 的应用. 3. 避易错 分类不当；不能正确识别定序问题. 数学·选择性必修第三册 课时作业 目 录 1. 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则不 同的选派方案共有（　　） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 120种 解析： 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工 作，则不同的选派方案共有 ＝6×5×4＝120（种）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·选择性必修第三册 2. 在1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字 之和为偶数的共有（　　） A. 36个 B. 24个 C. 18个 D. 6个 解析： 　若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有 ＝36 （个）符合要求的数. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 3. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位 置，则不同的站法种数是（　　） A. 257 B. 336 C. 343 D. 384 解析： 　由题意知可分为三类：第一类是3人各站一级台阶，有 种站 法；第二类是有一级台阶有2人，另一级台阶有1人，共有 种站法；第 三类是3人站在一级台阶上，有 种站法.所以根据分类加法计数原理知共 有不同的站法种数是 ＋ ＋ ＝343.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 4. 元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1 盏，则不同的取法共有（　　） A. 32种 B. 70种 C. 90种 D. 280种 解析： 　因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯， 即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有 ＝70（种）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 5. 某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个 社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加 或都不参加，则不同的选派方案有（　　） A. 360种 B. 480种 C. 600种 D. 720种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 解析： 　若甲参加，乙不参加，则丙参加，只需从剩余5人中选出2人， 再分配即可，此时有 ＝240（种）情况；若甲不参加，乙不参加，则 丙不参加，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，此时有 ＝120 （种）情况；若甲不参加，乙参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出3 人，再分配即可，此时有 ＝240（种）情况.故共有240＋120＋240＝ 600（种）不同的选派方案.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 6. 〔多选〕将四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中 且不允许有空盒子的放法有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 18种 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 解析： 　根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号 的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个 盒子中各放1个球，则可以有两种方法进行分析：（1）①先将四个不同的 小球分成3组，有 种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒 子中，有 种放法.则没有空盒的放法有 种.（2）①在4个小球中任 选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有 种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有 种放法.则没有空盒的放法有 种.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 7. 〔多选〕现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一 个小组，则下列说法正确的是（　　） A. 若报名没有任何限制，则共有53种不同的安排方法 B. 若报名没有任何限制，则共有35种不同的安排方法 C. 若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法 D. 若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 解析： 　5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小 组，若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有35种不同的安排方 法，故B正确，A错误；若每个小组至少要有1人参加，则先分组后排列， 先将5名同学分为三组有 ＋ ＝25（种）方法，再将分好的三组分 到3个不同的课后服务小组有 ＝6（种）情况，所以每个小组至少要有1 人参加，则共有25×6＝150（种）不同的安排方法，故C错误，D正确.故 选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 8. 旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行 体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区 旅游，则他可选的旅游路线数为 ⁠. 解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的 路线有 种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有 种.所以小李 可选的旅游路线数为 ＋ ＝10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 9. 如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“ ”中，每个“ ”中填一个 数字，有线段连接的两个“ ”不能填相同数字，四个数字不必均使用， 则不同填数方法有 种. 264 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 解析：如图，计算不同填数方法有两类办法：当用四个 数字时，先填A，E，D，有 种填法，再从B，F， C中选一处填第四个数，如B，再填F，若F与D同， 则C有2种填法，若F与D不同，则C有1种填法，于是得有 （2＋1）种填法；当用三个数字时，先填A，E，D，有 种填法，再填B，有2种填法，则F，C各有1种填法，于是得有2 种填法.利用分类加法计数原理得不同填数方法有 （2＋1）＋2 ＝216＋48＝264（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 10. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选 手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好 龙舟上选手的座位顺序，求下列方案的排法种数： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； 解： 因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需 再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为： ＝5×10×6＝300. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； 解： 完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有 ＝20（种）选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为： ＝12. 由分步计数乘法原理得，不同的排法种数为：20×12＝240. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 解： 完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有： ＝1 920（种）； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有 ＝240. 由分类加法计数原理得，不同的排法种数为：1 920＋240＝2 160. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 11. 为弘扬我国古代的六艺文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设礼 乐射御书数六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中射不排在第一周，数不 排在最后一周的所有可能排法种数； 解： 分两组情况讨论： ①射排在最后一周时，则有 ＝120（种）排法. ②当射不排在最后一周，则射有4种排法，数也有4种排法，剩下的4门课 程全排列，有4×4× ＝384（种）排法， 所以共有120＋384＝504（种）不同排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 （2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一 门课程，求甲不任教数的课程安排方案种数. 解： 分两种情况讨论： 当甲教两科时，则有 ＝240（种）安排方法； 当甲教一科时，则有 ＝1 200（种）安排方法. 所以共有240＋1 200＝1 440（种）不同安排方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 12. 在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过 检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出 2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同 的抽法； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 解：由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 第1次抽到的是正品有 种抽法；第2次抽到的是次品有 种抽法；第 3次抽到的是正品有 种抽法； 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有 ＝24（种）抽 法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共 有 ＝48（种）抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有 ＝48 （种）抽法； 综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 （2）已知每检测一件产品需要检测费用100元，求检测结束时检测费用为 400元的抽法有多少种？ 解： 由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束， 共有以下两种情况： ①4次抽到的均为正品，共有 ＝24（种）抽法； ②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有 · · ＝72（种）抽法. 所以检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第三册 $