6.3.1 二项式定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项式定理，通过投篮练习情境导入，引导学生从多项式乘法法则和计数原理出发推导定理，构建从具体问题到抽象公式的学习支架，衔接多项式运算与计数原理的知识脉络。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过逻辑推理证明定理发展数学思维，例题与训练题规范数学语言表达。规律方法总结与随堂检测结合，助力学生掌握知识，也为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

6.3.1　二项式定理 1 1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理（逻辑推理）. 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题（数学运算）. 课标要求 小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投 篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次，……，投中10次， 而投中0次只有1（即 ）种情况，投中1次有 种情况，投中2次有 种情况，……，投中10次有 种情况.因此，小张投篮10次，结果共有 ＋ ＋ ＋…＋ 种情况.那么上式的结果是多少呢？利用本节我 们要学习的二项式定理，可以快速地解答这个问题. 情境导入 知识点一 二项式定理 01 知识点二 求二项展开式中的特定项 02 知识点三 二项式系数与项的系数问题 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 二项式定理 01 PART 目 录 问题　（1）在初中，我们用多项式乘法法则得到了（a＋b）2的展开式： （a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2ab＋ b2.如何利用计数原理解释上述展开过程呢？ 提示：从上述过程可以看到，（a＋b）2是2个（a＋b）相乘，根据多项 式乘法法则，每个（a＋b）在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个 （a＋b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.故（a＋b）2＝ a2＋ ab＋ b2＝a2＋2ab＋b2. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）试利用乘法计数原理解释（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. 提示：（a＋b）3表示3个因式（a＋b）相乘， 展开式中的项如3ab2，来源于从3个因式中选出2个取b，1个取a， 则可得 ab2＝3ab2， 故（a＋b）3＝ a3b0＋ a2b1＋ ab2＋ a0b3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 二项式定理 （a＋b）n＝ ⁠ （n∈N*） 二项展开式 右边的多项式 二项式系数 各项的系数 ⁠ 二项展开 式的通项 ＝ ⁠ an＋ b1＋…＋ bk＋… ＋ bn　 （k＝0，1，2，…，n）　 bk　 数学·选择性必修第三册 目 录 　　提醒：二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b的 次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减到 0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　（链接教材P30例1）（1）求（3 ＋ ）4的展开式； 解： 法一　（3 ＋ ）4＝ （3 ）4＋ （3 ）3· ＋ （3 ）2（ ）2＋ （3 ）·（ ）3＋ （ ）4＝81x2＋108x＋54 ＋ ＋ . 法二　（3 ＋ ）4＝（ ）4＝ （1＋3x）4＝ ·[1＋ ·3x＋ （3x）2＋ （3x）3＋ （3x）4]＝ （1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4） ＝ ＋ ＋54＋108x＋81x2. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）化简： （x＋1）n－ （x＋1 ＋ （x＋1）n－2－…＋ （－1）k （x＋1）n－k＋…＋（－1）n . 解： 原式＝ （x＋1）n＋ （x＋1）n－1（－1）＋ （x＋1）n －2（－1）2＋…＋ （x＋1）n－k（－1）k＋…＋ （－1）n＝[（x＋ 1）＋（－1）]n＝xn. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 运用二项式定理解题的策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开 时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形 如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化 简再用二项式定理展开； （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要 熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 　　提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a－ b）n的形式. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　（1）已知 3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3＋ ＝1 024， 则n＝ ⁠； 解析： 3n＋ 3n－1＋…＋ 3＋ ＝ 3n·10＋ 3n－1·11＋… ＋ 31·1n－1＋ 30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即 ＝210，解 得n＝5. 5 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）化简（x＋ ）4－（x－ ）4＝ 　8x2＋ 　. 解析： 原式＝ x4＋ x3· ＋ x2·（ ）2＋ x（ ）3＋ （ ）4 －［ x4－ x3· ＋ x2·（ ）2－ x·（ ）3＋ （ ）4］＝2［ x3· ＋ x·（ ）3］＝8x2＋ . 8x2＋ 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 求二项展开式中的特定项 02 PART 目 录 【例2】　在二项式（x－ ）12的展开式中，求： （1）第4项； 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝ x12－r·（－ ）r＝（－1） r . （1）令r＝3，则T4＝（－1）3 ＝－220x8. （2）常数项； 解： 令12－ r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9 ＝－220. 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）有理项. 解： 若求展开式中的有理项，则12－ r为整数，即r＝0，3，6，9， 12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－ x8＝－220x8，T7＝ x4＝ 924x4，T10＝－ ＝－220，T13＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 求二项展开式特定项的步骤 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　（1）若（x－ ）6展开式中的常数项为60，则常数a＝ （　A　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 解析： ∵（x－ ）6展开式的通项公式为Tr＋1＝ x6－r（－ ）r ＝ ·（－ ）r·x6－3r，令6－3r＝0，求得r＝2，可得它的常数项为 ·a＝60，∴a＝4. A 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）（ － ）8的展开式中的中间项为（　B　） A. B. C. －7 D. －7 解析： 由题意，Tr＋1＝ （－ ）r＝ ， 且r＝0，1，2，…，8，所以r＝4为中间项，即为（－ ）4 ＝ .故选B. B 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 二项式系数与项的系数问题 03 PART 目 录 【例3】　（链接教材P30例2）已知（ － ）n的二项展开式中，第4项 的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3. （1）求n的值； 解： ∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3， ∴ ∶ ＝8∶3，∴ ＝ ，∴n＝10. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数. 解： （ － ）n＝（ － ）10，其通项公式为 ＝（－ 2）k x5－k， 令5－k＝3，可得k＝2， ∴展开式中x3项的系数为（－2）2× ＝180. 展开式中含x3项的二项式系数为 ＝45. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项 数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分为两 步完成： （1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注 意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整数，r为非负整数，n≥r）； （2）根据所求的指数，求所求解的项或项的系数. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　（1）已知（x－ ）n的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相 等，则展开式中x2的系数为（　A　） A. 60 B. －60 C. 448 D. －448 解析： ∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴ ＝ ，则n＝1＋5 ＝6，则展开式通项公式是Tr＋1＝ x6－r（－ ）r＝（－2）r x6－2r，令 6－2r＝2，得r＝2，∴x2的系数为（－2）2 ＝60，故选A. A 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为 （　B　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 B 解析： （1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝ 1n－k·（－2x）k＝ （－2）k xk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3 ＝－160，则 ＝20，解得n＝6. 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 在（x－ ）10的展开式中，含x6的项的系数是（　　） A. －27 B. 27 C. －9 D. 9 解析： 　含x6的项是T5＝ x6（－ ）4＝9 x6. √ 2. （x－y）6的展开式的第3项是（　　） A. x4y2 B. x2y4 C. x3y3 D. － x3y3 √ 解析： 由题设，（x－y）6的展开式的通项为 ＝ x6－k（－y） k，∴第3项为T3＝ x4y2. 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 在（ － ）8的展开式中常数项是（　　） A. －28 B. －7 C. 7 D. 28 解析： 　 ＝ ·（ ）8－r·（－ ）r＝（－1）r· ·（ ）8－ r· ，当8－ r＝0，即r＝6，则T7＝（－1）6· ·（ ）2＝7. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 代数式（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1可化简 为 ⁠. 解析：（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1＝ （x＋ 1）4＋ （x＋1）3（－1）1＋ （x＋1）2·（－1）2＋ （x＋1）·（－ 1）3＋ （－1）4＝[（x＋1）－1]4＝x4. x4 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）二项式定理的正用与逆用； （2）二项展开式中的特定项； （3）二项式系数与项的系数. 2. 应体会 解决与二项式定理有关的问题要注意转化与化归思想的应用. 3. 避易错 注意二项式系数与系数的区别， an－kbk是展开式的第k＋1项. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. （x＋ ）9的展开式中的第4项是（　　） A. 56x3 B. 84x3 C. 56x4 D. 84x4 解析： 　由展开式的通项知T4＝ x6（ ）3＝84x3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. （x－ y）10的展开式中x6y4的系数是（　　） A. －840 B. 840 C. 210 D. －210 解析： 　在通项公式 ＝ （－ y）k 中，令k＝4，得x6y4 的系数为 （－ ）4＝840. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 若实数a＝2－ ，则a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（　　） A. 32 B. －32 C. 1 024 D. 512 解析： 　a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2－ 时，（a－2）10＝32. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 若二项式（2x＋ ）7的展开式中 的系数是84，则实数a＝（　　） A. 2 B. 5 C. 1 D. 解析： 　二项式（2x＋ ）7的展开式即（ ＋2x）7的展开式，通项公式 为Tr＋1＝ （ ）7－r（2x）r＝ 2ra7－rx－7＋2r，令－7＋2r＝－3，解得 r＝2，代入得 ×22a5＝84，解得a＝1，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. （a－ ）6的展开式中 （即分子a的指数和分母b的指数相同）项 的系数为（　　） A. －15 B. 15 C. －20 D. 20 解析： 　通项公式Tr＋1＝ a6－r（－1）r ，由 可得 ＝6－r，故r ＝4，所以系数为（－1）4 ＝15.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 使（3x＋ ）n （n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为 （　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析： 　Tr＋1＝ （3x）n－r（ ）r＝ 3n－r ，当Tr＋1是常数 项时，n－ r＝0，当r＝2，n＝5时成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕对于二项式（ ＋x3）n（n∈N*），以下判断正确的有 （　　） A. 存在n∈N*，展开式中有常数项 B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C. 对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D. 存在n∈N*，展开式中有含x的项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　设二项式（ ＋x3）n（n∈N*）展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1 ＝ （ ）n－k（x3）k＝ x4k－n，不妨令n＝4，则当k＝1时，展开式中 有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k＝1时，展开式中有含x的 项，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项的系数为 ⁠. 解析：（1－x）5中x3的系数为－ ＝－10，－（1－x）6中x3的系数为－ ·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中x3的系数为10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 设（x－ ）6（a＞0）的展开式中含x3项的系数为A，常数项为B. 若 B＝4A，则a＝ ⁠. 解析：（x－ ）6（a＞0）的展开式的通项Tk＋1＝ x6－k（－ ）k＝ （－a）k .令6－ ＝3，得k＝2，∴A＝a2 ＝15a2；令6－ ＝ 0，得k＝4，∴B＝a4 ＝15a4.∵B＝4A，∴15a4＝4×15a2，又a＞0， ∴a＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 在（ ＋ ）n的展开式中，前三项的二项式系数满足 ＝ ＋ .求： （1）展开式中含有x项的系数； （1）令4－ k＝1，得k＝4， 所以含有x项的系数为 × ＝ . 解：由 ＝ ＋ ，得n＝1＋ n（n－1），且n≥2， 解得n＝8（n＝1舍去）， 则二项式（ ＋ ）8展开式的通项为Tk＋1＝ · · · ＝ · · . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解： 令4－ k＝－2，得k＝8. 因此展开式中含x－2的项为第9项， 所以T9＝ · ·x－2＝ . （2）展开式中含有x－2的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 若对∀x∈R，（ax＋b）5＝（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋2）3－ 10（x＋2）2＋5（x＋2）－1恒成立，其中a，b∈R，则a＋b＝ （　　） A. －1 B. 0 C. 2 D. 3 解析： 　由（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋2）3－10（x＋2）2＋5 （x＋2）－1＝（x＋2－1）5＝（x＋1）5，得（ax＋b）5＝（x＋1）5， 所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 〔多选〕已知（ － ）n（n≥3，n∈N*）的展开式中，第3项的 二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则（　　） A. n＝7 B. 展开式中有理项有且仅有1项 C. 第4项为－ D. 第3项的二项式系数为21 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有 ＝ 3 ，则有 ＝3n，化简整理得n2－7n＝0，解得n＝7或n＝0 （舍去），故A正确；展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）7－k（－ ）k＝ （－ ）k ＝ （－ ）k ，当k＝2或k＝6时， 为整 数，故当k＝2或k＝6时展开式为有理项，故B错误；T4＝ （－ ）3 ＝－ ，故C正确；第3项的二项式系数为 ＝21，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. （ x＋ ）100的展开式中，系数为有理数的共有 项. 解析：（ x＋ ）100的展开式的通项Tk＋1＝ x100－k· · .若Tk ＋1的系数为有理数，则 ， 均为整数，即k为6的整数倍.由 0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值为0，6，12，…，96，共17个，即系 数为有理数的共有17项. 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 已知（ ＋1）n的展开式中有连续三项的系数之比为1∶2∶3. （1）这三项分别是第几项？ 解： 展开式各项系数为 （k＝0，1，2，…，n），当k≥1时，由 题意 ∶ ∶ ＝1∶2∶3，即 ＝ ＝ ，解得 ∴这三项分别是第5，6，7项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若展开式的倒数第二项为112，求x的值. 解： 倒数第二项为 ， ∴ ＝14 ＝112，即 ＝8， 则log2 ＝log28＝3，即（log2x）2＝3，解得log2x＝± ， ∴x＝ 或x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列. （1）求：a1 －a2 ＋a3 ，a1 －a2 ＋a3 －a4 ； 解： a1 －a2 ＋a3 ＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－q）2， a1 －a2 ＋a3 －a4 ＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1（1－q）3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. 解： 归纳概括的结论为： 若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则 a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1· ＝a1（1－q）n，n为正整数. 证明：a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1· ＝a1 －a1q ＋a1q2 －a1q3 ＋…＋（－1）na1qn ＝a1[－q ＋q2 －q3 ＋…＋（－1）nqn ]＝a1（1－q）n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $