第8章 培优课 空间几何体的截面问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

培优课　空间几何体的截面问题 1.B　用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件； 用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所以B不满足条件； 用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件； 用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.故选B. 2.A　根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心.故选A. 3.C　如图1，当M，N分别与对角顶点重合时，显然BMD1N是矩形；如图2，当M，N为AA1，CC1的中点时，显然BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：BMD1N不可能为正方形；根据对称性，其他情况下BMD1N为平行四边形；综上，C不正确.故选C. 　 4.B　对于A，y是x的正比例函数；对于C、D，y都是x的二次函数. 5.B　如图所示，在三棱锥P-ABC中，过E分别作EF∥AB，EH∥PC，再分别过点H，F作HG∥AB，FG∥PC，可得E，F，G，H四点共面，因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可证，PC∥平面EFGH，所以截面即为平行四边形EFGH，又由E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB＋2PC＝9，所以EF＝AB，EH＝PC，所以平行四边形EFGH的周长为2（EF＋EH）＝（AB＋2PC）＝6. 6.ABD　对于选项A，B，D，截面的边界中，可能有曲线，即所截面可能是曲边图形；对于C，如图，过S的截面截圆锥SO得到截面△SAB，由Rt△SOA≌Rt△SOB，所以SA＝SB，△SAB为等腰三角形，C正确. 7.ACD　对于A，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形，如图所示的截面为△ABC，设DA＝a，DB＝b，DC＝c，所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2＋b2，BC2＝b2＋c2.所以由余弦定理得，cos∠CAB＝＝＞0，所以∠CAB为锐角.同理可求，∠ACB为锐角，∠CBA为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故A符合题意；对于B，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，不可能是直角梯形，故B不符合题意；对于C，如图（1）（3），截面可能是菱形，故C符合题意；对于D，因为正方体有六个面，所以它的截面最多是六边形，故D符合题意. 8.6π　解析：易知当截面与PO垂直时截面面积最小，设截面半径为r，有r＝＝PA＝，所以截面面积的最小值为π·r2＝6π. 9.4＋2　解析：连接AF，过点E作EP∥AF交B1C1于点P，连接FP，AE，即可得到截面AFPE，因为E为BB1中点，EP∥AF，所以B1P＝A1F＝1，因为AB＝2，AD＝AA1＝4，则AF＝＝2，且EP＝AF＝，AE＝＝2，FP＝＝，所以截面AFPE的周长为2＋＋2＋＝4＋2. 10.4π－2　解析：截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，设正四棱锥的底面正方形边长为a，则2a2＝16，所以a＝2，正四棱锥的底面正方形的面积为（2）2＝8，由截面是由平行于底面的平面截得的，则圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似，设圆面中挖去的正方形的面积为S'，正四棱锥的底面正方形的面积为S，则＝＝，从而S'＝2，所以截面图形的面积为4π－2. 11.解：由题意可知过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长， 因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各侧面均为矩形，所以AC1＝＝， 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面部分展开图如图所示， 则在矩形ACC1A1中，AM＋MC1≥AC1＝＝3， 所以过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3＋. 12.解：（1）证明：连接DB，交AC于点O，所以O为DB的中点，连接MO.因为M为DD1的中点，所以MO是△D1DB的中位线，所以D1B∥MO. 又MO⊂平面MAC，D1B⊄平面MAC，所以D1B∥平面MAC. （2）分别取A1A，B1B，C1C的中点E，G，F，连接D1E，EB，BF，FD1，则四边形D1EBF即为所求截面，理由如下： 连接A1G，GF，所以A1E＝GB，A1E∥GB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1G＝EB，A1G∥EB.同理A1D1＝GF，A1D1∥GF，所以四边形D1A1GF是平行四边形，所以A1G＝D1F，A1G∥D1F，所以D1F＝EB，D1F∥EB，即四边形D1EBF是平行四边形. 又因为MD1＝CF，MD1∥CF，所以四边形D1MCF是平行四边形，所以D1F∥MC. 因为D1F⊄平面MAC，MC⊂平面MAC，所以D1F∥平面MAC，又因为D1F∩D1B＝D1，D1F，D1B⊂平面D1EBF，所以平面MAC∥平面D1EBF，所以四边形D1EBF即为所求截面. 又因为EB＝＝＝， FB＝＝＝，所以EB＝FB，所以四边形D1EBF为菱形，所以D1B⊥EF. 因为D1B＝ ＝ ＝＝2， EF＝AC＝＝，所以截面面积为D1B·EF＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　空间几何体的截面问题 1.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（　　） A.圆锥 B.圆柱 C.三棱锥 D.正方体 2.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面（　　） A.一定通过正方体的中心 B.一定通过正方体一个表面的中心 C.一定通过正方体的一个顶点 D.一定构成正多边形 3.（2025·杭州月考）已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相交，分别交棱AA1，CC1于M，N.则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是（　　） A.截面BMD1N可能是矩形 B.截面BMD1N可能是菱形 C.截面BMD1N可能是梯形 D.截面BMD1N不可能是正方形 4.在圆柱、圆锥、圆台和球四个几何体中，分别作出它们的截面（阴影部分），那么截面面积y与x之间的函数关系可以用如图所示的曲线表示的是（　　） 5.在三棱锥P-ABC中，AB＋2PC＝9，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为（　　） A.5 B.6 C.8 D.9 6.〔多选〕下列判断不正确的是（　　） A.平面于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 7.〔多选〕用一个平面截正方体，则截面的形状可能是（　　） A.锐角三角形 B.直角梯形 C.菱形 D.最多是六边形 8.已知正四面体A-BCD的棱长为2，四个顶点都在球心为O的球面上，P为棱AB的中点，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为　　　　. 9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F分别为BB1，A1D1的中点，过点A，E，F作长方体ABCD-A1B1C1D1的一截面，则该截面的周长为　　　　. 10.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为　　　　. 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，求过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长. 12.（2025·阳江质检）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，M为DD1的中点. （1）求证：D1B∥平面MAC； （2）过D1B作正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面，使得截面平行于平面MAC，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $