8.5.3 平面与平面平行(第2课时)平面与平面平行的性质（导学案)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.5.3 平面与平面平行(第2课时) 平面与平面平行的性质导学案 1、 学习目标 1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系． 2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理. 3.掌握空间平面与平面平行的性质定理，并能应用这个定理解决问题． 2、 重点难点 重点：平面和平面平行的性质定理. 难点：平面和平面平行的性质定理的应用. 3、 导入新知 （1） 情景导入 下面我们研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论． 如图,过长方体ABCD-A1B1C1D1的棱上三点E,F,G的平面与上底面A1B1C1D1和下底面ABCD的交线有什么关系? 根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系． 如图8.5-17，借助长方体模型，我们看到，所在的平面与平面平行，所以与平面没有公共点．也就是说，与平面内的所有直线没有公共点．因此，直线与平面内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线． （2） 预习课本，引入新课 阅读课本141-142页，思考并完成以下问题 1、如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系? 2、满足什么条件时两个平面平行？ 分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？我们仍然依据基本事实的推论进行分析：如果，，，且，那么过，有且只有一个平面．这样，我们可以把直线，看成是平面与平面，的交线．于是可以猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行． 下面，我们来证明这个结论． 如图8.5-18，平面，平面分别与平面，相交于直线，． ，，，， 又，没有公共点． 又，同在平面内，． 我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理． 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 这个定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行． （3） 新知探究 1、直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒ a∥b. 如果直线不在两个平行平面内，或者第三个平面不这两个平面相交，以两个平面平行为条件，你还能得出哪些结论？ 探究1:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系? 探究2:平行于同一个平面的两个平面什么关系? 4、 应用新知 例5 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等． 如图8.5-19，，，且，，，，求证：． 【变式】求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（根据如图写出已知、求证并加以证明）． 从本节的讨论可以看到，由直线与直线平行可以判定直线与平面平行；由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行；由直线与平面平行可以判定平面与平面平行；由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行，直线与直线平行．这种直线，平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法． 平面与平面平行的性质定理应用的注意事项 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面. 5、 能力提升 题型一、平面与平面平行的性质定理的应用 【练习1】已知底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，且，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论. 题型二、平面与平面平行性质定理的应用 证明问题 【练习2】在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC?证明你的结论. 题型三、平面与平面平行性质定理的应用 计算问题 【练习3】体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 题型四、 平行关系的综合应用 【练习4】如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2，DE=BF=4，BFDE，M为棱AE的中点.求证：平面BMD平面EFC. 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)平面与平面平行的性质定理． (2)平面与平面平行的性质定理及其应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：平面与平面平行的条件不充分． 习题8. 5（第143页） 1．选择题 （1）若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）． （A） 内的所有直线都与异面 （B）内不存在与平行的直线 （C）内的直线都与相交 （D）直线与平面有公共点 （2）如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线（ ） （A） 只有一条，不在平面内 （B）有无数条，不一定在内 （C）只有一条，且在平面内 （D）有无数条，一定在内 2．已知平面，和直线，，，且，，，，则与的位置关系是_______． 3．如图，在长方体木块中，面上有一点，怎样过点画 一条直线与棱平行？ 4．如图，在长方体中，，分别是，的中点，求证． 5．如图，在四面体中，，，分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 6．如图，，是异面直线，画出平面，使， ，并说明理由． 7．如图，，，，，求证：． 8．如图，直线，，相交于点，，，， 求证：平面平面． 9．如图，，分别为长方体的棱，的中点，求证：． 10．如图，，，，，求证． 11．已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． 12． 一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线，在木块表面应该怎样画线？ 13．如图，，直线与分别交，，于点和点，求证． 14．如图，，是异面直线，，，，，求证． 15．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是 ，为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5.3 平面与平面平行(第2课时) 平面与平面平行的性质导学案 1、 学习目标 1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系． 2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理. 3.掌握空间平面与平面平行的性质定理，并能应用这个定理解决问题． 2、 重点难点 重点：平面和平面平行的性质定理. 难点：平面和平面平行的性质定理的应用. 3、 导入新知 （1） 情景导入 下面我们研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论． 如图,过长方体ABCD-A1B1C1D1的棱上三点E,F,G的平面与上底面A1B1C1D1和下底面ABCD的交线有什么关系? 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系． 如图8.5-17，借助长方体模型，我们看到，所在的平面与平面平行，所以与平面没有公共点．也就是说，与平面内的所有直线没有公共点．因此，直线与平面内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线． （2） 预习课本，引入新课 阅读课本141-142页，思考并完成以下问题 1、如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系? 2、满足什么条件时两个平面平行？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？我们仍然依据基本事实的推论进行分析：如果，，，且，那么过，有且只有一个平面．这样，我们可以把直线，看成是平面与平面，的交线．于是可以猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行． 下面，我们来证明这个结论． 如图8.5-18，平面，平面分别与平面，相交于直线，． ，，，， 又，没有公共点． 又，同在平面内，． 我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理． 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 这个定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行． （3） 新知探究 1、直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒ a∥b. 如果直线不在两个平行平面内，或者第三个平面不这两个平面相交，以两个平面平行为条件，你还能得出哪些结论？ 探究1:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系? 答案:平行. 探究2:平行于同一个平面的两个平面什么关系? 答案:平行. 4、 应用新知 例5 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等． 如图8.5-19，，，且，，，，求证：． 证明：过平行线，作平面，与平面和分别相交于和． ，．又，∴四边形是平行四边形，． 【变式】求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（根据如图写出已知、求证并加以证明）． 【答案】证明见解析 【知识点】面面平行证明线线平行、反证法证明 【分析】应用反证法，假设可得与有公共点与题设矛盾，又，即可证. 【详解】题设数学表达：，，，求证：. 证明：假设直线与直线相交，且 ，， ∴，同理，即与有公共点，这与已知矛盾. 假设不成立，直线与直线不相交， ， ． 从本节的讨论可以看到，由直线与直线平行可以判定直线与平面平行；由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行；由直线与平面平行可以判定平面与平面平行；由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行，直线与直线平行．这种直线，平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法． 平面与平面平行的性质定理应用的注意事项 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面. 5、 能力提升 题型一、平面与平面平行的性质定理的应用 【练习1】已知底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，且，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论. 【答案】见解析 【知识点】面面平行证明线面平行、证明面面平行、线面平行的性质 【分析】连接交于，连接，过点作的平行线交于点，过点作，交于点，连接，利用线面平行的判定定理，证得平面，同理平面，证得平面平面，得到平面，进而得到，即可得到答案． 【详解】在棱上存在点，使平面， 证明：如图所示，连接交于，连接，过点作的平行线交于点，过点作，交于点，连接， 因为，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 又，所以平面平面，所以平面， 因为，是的中点，所以是的中点， 又因为，所以是的中点， 而，所以为的中点， 综上可知，当点是的中点时，平面. 【点睛】主要考查了主要考查了线面平行的性质定理与面面平行的判定定理与性质定理的应用，其中解答中把握几何体的结构特征，熟练应用线面平面平行性质定理和面面平行的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题． 反思感悟　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条． (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)． (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上． (4)由定理得出结论． 题型二、平面与平面平行性质定理的应用 证明问题 【练习2】在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC?证明你的结论. 【答案】存在，证明见解析 【知识点】证明面面平行 【分析】若平面BFM∥平面AEC，由面面平行的性质定理可得，从而得是中点，因此当F是棱PC的中点时，证明平面BFM∥平面AEC即可． 【详解】当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC. 因为M是PE的中点，所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC.由EM=PE=ED， 得E为MD的中点，连接BM，BD，如图所示， 设BD∩AC=O，则O为BD的中点. 连接OE，则BM∥OE. 因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以BM∥平面AEC. 因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，且FM∩BM=M， 所以平面BFM∥平面AEC. 利用平面与平面平行的性质定理的基本步骤 　　 题型三、平面与平面平行性质定理的应用 计算问题 【练习3】体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面面平行证明线线平行、由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【详解】依题意得，N是的中点，， 则， 延长直线MN于P，延长交直线MN于Q， 连接AP交于E，连接AQ交于F， 作出截面AFNME如下图所示， 则中， ， 故的面积 =， 四边形MNFE的面积 ， 故所求截面面积为. 故选:B. 【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形. 关于平行平面分线段成比例定理 类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理．　　 题型四、 平行关系的综合应用 【练习4】如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2，DE=BF=4，BFDE，M为棱AE的中点.求证：平面BMD平面EFC. 【答案】证明见解析 【知识点】证明面面平行 【分析】连接AC，交BD于点N，则MNEC，根据线面平行的判定有MN平面EFC，由题设知BDEF为平行四边形，即BDEF，根据线面平行的判定有BD平面EFC，结合面面平行的判定证平面BMD平面EFC. 【详解】证明：如图，连接AC，交BD于点N， ∴N为AC的中点，连接MN，则MNEC. ∵面EFC，面EFC， ∴MN平面EFC. ∵BFDE，BF=DE， ∴四边形BDEF为平行四边形， ∴BDEF. ∵平面EFC，平面EFC， ∴BD平面EFC，又MN∩BD=N， ∴平面BMD平面EFC. 【点睛】关键点点睛：由中位线、平行四边形的性质确定线线平行，根据线面平行的判定证明线面平行，再由面面平行的判定证明面面平行. 平面与平面平行的性质定理空间平行关系的注意事项 直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示. 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)平面与平面平行的性质定理． (2)平面与平面平行的性质定理及其应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：平面与平面平行的条件不充分． 习题8. 5（第143页） 1．选择题 （1）若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）． （A） 内的所有直线都与异面 （B）内不存在与平行的直线 （C）内的直线都与相交 （D）直线与平面有公共点 （2）如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线（ ） （A） 只有一条，不在平面内 （B）有无数条，不一定在内 （C）只有一条，且在平面内 （D）有无数条，一定在内 1．答案：（1）D （2）C 2．已知平面，和直线，，，且，，，，则与的位置关系是_______． 2．答案：平行或相交 3．如图，在长方体木块中，面上有一点，怎样过点画 一条直线与棱平行？ 3．解析：如图，在平面内，过点作直线， ，分别交棱，于点，．则就是过点与棱平行的直线． 4．如图，在长方体中，，分别是，的中点，求证． 4．解析：连接，分别是，的中点，，，． 5．如图，在四面体中，，，分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 5．证明：（1）分别是，的中点，．平面，平面， 平面． （2）分别是，的中点，．平面，平面， 平面． 6．如图，，是异面直线，画出平面，使， ，并说明理由． 6．解析：在直线上任取一点，过作，则由与确定的平面即为所求，如图．，且，． 7．如图，，，，，求证：． 7．证明： ，，，，， 同理，于是． 8．如图，直线，，相交于点，，，， 求证：平面平面． 8．证明：与相交于点，， 又，，，，， 又平面，平面，平面． 同理可证平面，又平面，平面，， ∴平面平面． 9．如图，，分别为长方体的棱，的中点，求证：． 9．证明：连接，分别为， 的中点， 四边形为平行四边形，， 又 ，，四边形为平行四边形，， 同理，又与方向相同，． 10．如图，，，，，求证． 10．证明：连接，，因为由，可确定平面，则，且与交于．，． 四边形为平行四边形．． 11．已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． 11．证明：设两条平行直线分别为和，其中． 过直线作平面，使其与平面相交，交线为．，，，． 又，，又，，．故另一条直线也平行于这个平面． 12． 一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线，在木块表面应该怎样画线？ 12．过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，过点 作，交于点，连接，则平面即为所求，如图所示． 13．如图，，直线与分别交，，于点和点，求证． 13．证明：连接交于点，连接，，则，， 同理，连接，，则，，． 14．如图，，是异面直线，，，，，求证． 14．证明：过作平面交于直线，因为，，，所以．因为，，所以，又与相交，，所以． 15．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是 ，为什么？ 15．答案：（1）（2）（4）（5） 解析：因为平面平面，所以有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面都易证是平行四边形，所以（1）（2）是正确的．在题图（1）中，水面面积，在题图（2）中，水面面积，而题图（1）中的小于题图（2）中的，则, 所以（3）是错误的．易知（4）是正确的．因为水的体积一定，形成的柱体的高度始终是，所以底面的面积一定，即是一个定值，即是一个定值，所以（5）是正确的． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$