8.5.3 平面与平面平行(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.5.3　平面与平面平行 1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是（　　） A.n是直线且n⊂α，n∥β B.n，m是异面直线且n∥β C.n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D.n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 2.已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关系可能是（　　） A.平行或相交 B.相交或异面 C.平行或异面 D.平行、相交或异面 3.在下列四个正方体中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是（　　） 4.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　） A.1个或2个 B.0个或1个 C.1个 D.0个 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是（　　） A.平面ABB1A1 B.平面BCC1B1 C.平面BCFE D.平面DCC1D1 6.〔多选〕α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是（　　） A.⇒a∥b B.⇒a∥b C.⇒α∥β D.⇒a∥b 7.〔多选〕如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则（　　） A.EF∥D1C B.EF＝a C.CF＝a D.三棱锥A-EFC的体积为a3 8.已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝　　　　. 9.如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系为　　　　. 10.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点. （1）求证：EF∥平面BCC1B1； （2）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论. 11.如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点，点N在线段AB上，AB＝4BN.若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面边长的比值为（　　） A.　　 　 B. C.　　 　 D. 12.〔多选〕已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成下列四个命题，其中为真命题的是（　　） A.①②③⇒④ B.①③④⇒② C.①②④⇒③ D.②③④⇒① 13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足　　　时，有MN∥平面B1BDD1. 14.求证：（1）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行； （2）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 15.如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折. （1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD； （2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5.3　平面与平面平行 1.C　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n⊂α，n∥β，m⊂α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C. 2.D　当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β，平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件.故选D. 3.B　B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF. 4.B　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α；②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个. 5.C　如图所示，分别取AB，DC的中点E1和F1，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1，因为A1E＝BE1，A1E∥BE1，所以四边形A1E1BE为平行四边形，所以A1E1∥BE.根据线面平行的判定定理，可得A1E1∥平面BCFE，同理可得E1F1∥平面BCFE，再根据面面平行的判定定理，可得平面A1E1F1D1∥平面BCFE. 6.AD　对于A，由基本事实4可知，A正确；对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故B不正确；对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可能平行，也可能相交，故C不正确；对于D，由面面平行的性质定理可知，D正确. 7.AD　如图，连接AC，A1B，因为在正方体中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面EFCD1＝EF，平面CDD1C1∩平面EFCD1＝CD1，根据面面平行的性质定理可得EF∥D1C，故A正确；易知A1B∥D1C，所以EF∥A1B，又A1E＝2EA，所以AF＝AB，故EF＝A1B＝a，故B错误；CF＝＝a，故C错误；VA-EFC＝VE-AFC＝×a××a×a＝a3，故D正确. 8.　解析：如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1＝AD，β∩α1＝BG，且α∥β，所以AD∥BG，所以＝，同理可得，GE∥CF，＝，所以＝，所以DE＝＝＝. 9.平行　解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，AB于点M，N，连接MN.∵A'，C'分别是△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝PM，PC'＝PN，∴A'C'∥MN.∵MN⊂平面ABC，A'C'⊄平面ABC，∴A'C'∥平面ABC.同理，A'B'∥平面ABC.又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B'⊂平面A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC. 10.解：（1）证明：因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EF∥A1A. 因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B.又因为EF⊄平面BCC1B1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以EF∥平面BCC1B1. （2）存在. 证明如下：取BC1中点为G，连接GE，GF，又因为E为AC1的中点，所以GE∥AB. 因为EG⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以EG∥平面ABB1A1. 同理可证EF∥平面ABB1A1.又因为EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面ABB1A1， 所以在线段BC1上存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1. 11.D　设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG，所以DEC'D'为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为. 12.AC　若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n⊄β，有④n∥β成立，A正确；若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或异面，B错误；若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m⊄α，所以有③m∥α成立，C正确；若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可能相交、平行，D错误. 13.M在线段FH上　解析：连接HN，FH，FN（图略）.∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴M∈FH. 14.证明：（1）已知平面α，β，γ，且α∥β，γ∥β，如图所示， 在平面α，β，γ内各取一点A，B，C，过AB作两个平面，与α的交线分别为a，b，与β的交线分别为c，d. 设过BC和c的平面与γ的交线为e，过BC和d的平面与γ的交线为f，由两个平面平行的性质定理知a∥c，b∥d，c∥e，d∥f，∴a∥e，b∥f， ∵a⊄γ，e⊂γ，b⊄γ，f⊂γ， ∴a∥γ，b∥γ，又a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，∴α∥γ. （2）已知点P∉平面α.假设过点P存在两个平面β，γ都平行于α，即α∥β，α∥γ. 如图所示， 设直线a⊂平面α，则P∉a， 由a和P确定一个平面设为σ， 则σ∩β＝b，σ∩γ＝c，则b∩c＝P， 由两平面平行的性质定理可得， a∥b，a∥c，则b∥c. 这与b∩c＝P矛盾，故假设错误，即经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 15.解：（1）证明：在平面图形中，设MN与AB交于点G. 由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∴AE∥DB. 又∵AM＝DN，∴四边形ADNM为平行四边形，∴MN∥AD. 折叠之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，示意图如图1，∴平面FAD∥平面GNM. 又∵MN⊂平面GNM，∴MN∥平面FAD. ∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD. （2）这个结论不正确. 要使结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下： 当F，A，D共线时，由平面图形，易证得FD∥MN. 折叠后，当F，A，D不共线时，由（1）知平面MNG∥平面FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可. 若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可. 由平面图形知，若要DN和FM共面，则DN与FM相交于点B（M，N分别为AE，DB的中点才能实现），折叠后的图形如图2. ∵FM∩DN＝B，∴可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面. 又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $