8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1.已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为（　　） A.6π B.8π C.9π D.10π 2.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　） A. B. C.2π D.4π 3.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝（　　） A. B. C. D. 4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　） A.5π B.6π C.20π D.10π 5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（　　） A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.6寸 6.〔多选〕如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，下列说法正确的是（　　） A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 7.〔多选〕圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（　　） A.母线长为20 B.表面积为1 100π C.高为10 D.体积为 8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比为　　　　，其体积之比为　　　　. 9.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为　　　　. 10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积. 11.〔多选〕沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是（　　） A.沙漏中的细沙体积为 cm3 B.沙漏的体积是128π cm3 C.细沙全部漏入下部容器后形成的锥形沙堆的高度约为2.4 cm D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒（π≈3.14） 12.已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为　　　　. 13.将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则截得棱柱的体积的最大值为　　　　. 14.某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）. （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3）选用哪个方案建造仓库更经济些？ 15.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. （1）求球冠所在球的半径R（结果用h，r表示）； （2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1.A　因为r＝1，l＝2，圆柱的表面积为2πr2＋2πrl＝6π，所以圆柱的表面积为6π.故选A. 2.B　绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合、体积相等的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝. 3.C　依题意πr3＝πR2·r，∴＝＝. 4.D　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 5.B　由已知得，天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸，则盆口面积为196π，盆底面积为36π，又盆深18寸，盆中水深9寸，则积水水面的半径为＝10（寸），∴积水水面面积为100π，∴积水的体积V＝×（36π＋＋100π）×9＝588π，∴平地降雨量为＝3（寸）. 6.AD　以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，所以侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，所以A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，所以C错误，D正确.故选A、D. 7.ABD　如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环所对的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×（102＋10×20＋202）＝，表面积S＝π（10＋20）×20＋100π＋400π＝1 100π，故A、B、D正确，C错误. 8.2∶1　2∶1　解析：S圆柱＝2·π＋2π··a＝a2，S圆锥＝π＋π··a＝a2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.V圆柱＝π·a＝a3，V圆锥＝·π·a＝a3，∴V圆柱∶V圆锥＝a3∶a3＝2∶1. 9.24－π　解析：由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分，则其表面积为6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π. 10.解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π； 该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝. 11.AC　根据圆锥的截面图可知，细沙在上部容器时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝×4＝（cm），所以沙漏中细沙的体积V＝×πr2×＝××＝（cm3），A正确；沙漏的体积V＝2××π×42×8＝π（cm3），B错误；设细沙流入下部容器后的高度为h1，根据细沙体积不变可知＝×π×42×h1＝h1，所以h1≈2.4 cm，C正确；因为细沙的体积为 cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，所以一个沙时为≈1 985（秒），D错误.故选A、C. 12.　解析：设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，所以圆锥的高为r，母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2＋2πr·r＝4πr2，圆锥的表面积为πr·r＋πr2＝（＋1）πr2，所以圆锥和圆柱的表面积之比为＝. 13.2　解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为，则截得的棱柱的体积V＝x×1＝＝（0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝时，Vmax＝2，即截得棱柱体积的最大值为2. 14.解：（1）方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝Sh＝×π×（）2×4＝π（m3）. 方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝Sh＝×π×（）2×8＝π＝96π（m3）. （2）方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m， 则圆锥的母线长l1＝＝4（m）， 则仓库的表面积S1＝π×8×4＋π×82＝（32π＋64π）m2. 方案二：仓库的高变成8 m， 则圆锥的母线长l2＝＝10（m）， 则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）. （3）由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造仓库更经济些. 15.解：（1）如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上的一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r，在Rt△OO1A中，OA2＝O＋O1A2， 即R2＝（R－h）2＋r2，整理化简得R＝，所以球冠所在球的半径R＝. （2）因为球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250，又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝＝，由（1）知R＝， 即65 000＝＋2502，解得R＝650， 于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π， 所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $