8.3.2 圆柱、 圆锥、圆台、球的表面积和体积-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 白题 基础过关 限时：50min 题组1圆柱、圆锥、圆台的表面积 6.*(2025·广东东莞高一期中)将半径为4 1.（2025·广东惠州高一期末)已知圆锥的 的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 60的扇形，则该圆锥的侧面积为 ( A.83π 83 B. A.6T B.12m 3 C.3m D.2m C.163π D.163 2.*(多选)(2025·湖南邵阳高一期中)如 3 T 图，四边形BCC,B1是圆柱的轴截面，AA1是圆 7.*(2025·山东烟台高一月考)一化学器皿 柱的一条母线，已知AB=4,AC=2√2，AA1=3, 为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和 则下列说法正确的是 5cm,高为10cm(器皿厚度忽略不计).现将 ( 该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸 溶液，若溶液高度恰为5cm,则溶液体积为 A A.245 T cm3 B.245 cm3 3 A.圆柱的侧面积为2√3π 490m B.圆柱的侧面积为6√6m C.490 T cmi D.3"cm' C.圆柱的表面积为6√6π+12m 题组3球的表面积和体积 D.圆柱的表面积为2√6π+6π 8.★(2025·四川遂宁高一期中)一个球的表 3.*(2025·山东威海高一期末)一个圆台 面积是16π，则它的体积是 () 上、下底面的半径分别为1,2，母线所在直线 A.64T B.64m C.32m 3 D.32m 3 与轴的夹角为45°，则该圆台的侧面积为 9.*(2024·广东惠州高一期中)将8个半径 为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的 A.3T B.6T C.32πD.6√2π 半径是 4.*(2025·河南信阳高一期末)已知圆锥A 与圆锥B的母线长均为4，圆锥A的底面半径 A.8 B.2√2 C.2 0② 4 为1，且圆锥A的侧面积等于圆锥B的底面 10.*（2025·江西赣州高一期末)已知一个 积，则圆锥B的表面积为 圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形， 题组2圆柱、圆锥、圆台的体积 往容器内注水后水面高度为3，若再往容器 5.*(2025·安徽六安高一期末)已知圆柱的 中放人一个半径为1的实心铁球，则此时水 底面半径为1，侧面积为6π，则该圆柱的体积 面的高度为 ( ) 为 ( 10 11 A. B.37 C. D82 A.T B.2T C.3π D.6m 3 12 27 第八章黑白题065 11.*(2025·安徽阜阳高一期末)海南椰雕 不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年 的文化史图①是一个椰雕工艺台灯，其灯罩 的几何模型如图②所示，相当于球0被一个 (第14题) 平面截得的一部分，若AB是截面圆O'的直 (第15题) 径，∠408=，圆0的面职为276m,则 15.*(2025·陕西榆林高一期中)在边长为2 的正方形ABCD中，挖去一个以AB为直径的 球0的体积为 半圆，再将所得平面图形（如图）以线段CD 的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几 何体的体积为 题组5球的截面 ① 16.*已知两个球的表面积之差为48π，两个 A.864√3πcm3 B.432πcm 球的大圆周长之和为12π（大圆是过球心的 C.288 T cm3 D.144πcm3 平面截球得到的圆)，则这两个球的半径之 12.*(2025·湖南邵阳高一月考)若三个球 差为 ( 的体积之比为2：1：3，则这三个球的表面 A.4 B.3 C.2 D.1 积之比为 17.*(2025·湖南衡阳高一期中)若球0被 题组4简单组合体的表面积和体积 一个平面所截，所得截面的面积为2π，且球 13.*(2025·福建莆田高一期中) -10 心0到该截面的距离为2，则球0的表面 宋代的影青瓷花口盏及盏托可以 积是 ( 看作是两个圆台与一个圆柱的组 6 A.8π B.12π C.24π D.32m 合体，三个部分的高相同，均为 重难聚焦川 6cm,上面的花口盏是底面直径分 12 题组6 球的切、接问题 别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底 18.*(2025·福建福州高一期 面直径为8cm的圆柱和底面直径分别为 中)一个体积为4√3π的球在 12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图 一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱 所示，则该花口盏及盏托构成的组合体的体 柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面 积为 ( 积为 ( A.248 T cm B.274 T cm3 A.543 B.54 C.273 D.27 C.354πcm3 D.370 T cm3 19. 14.*(2025·辽宁沈阳高一月考)如图所示 **(2025·浙江杭州高一月 的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正 考)已知一个圆锥的侧面展开图 方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的 是个圆心角为25，半径为5的扇形若 剩余部分，则该几何体的表面积为( 该圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面 A.24-3m B.24-T 上，则球0的体积为 C.24+T D.24+5T 必修第二册·RJ黑白题066表面积与正方体的表面积之比为5：3. 3.83解析：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,3cm,侧棱长 为2m,所以棱台的斜高为√2-(3，)】 2 =√3，所以棱台的侧面 积是4x中3xw3=85(cm2). 2 4.12解析：由题意可知，正方体的表面积为6cm2,且小正方体的棱长 m则1个小正方体的表面积为6x(传）广-子(em).房 为 以27个全等的小正方体的表面积为27×子=18(cm),所以表面积 增加了18-6=12(cm2).故答案为12. 5.D解析：因为在直三棱柱ABC-A'BC中，AB=4,AC=3,AA'=2, ∠BAC=60,所以直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为 2×4×3× sin60°×2=6√3. 6.C解析：如图，由已知可得AB=2,可得OA= √2，再由PA=2W2,可得P0=6,所以正四棱 锥的休积为了×2x645 1 31 7.D解析：由题意有S1=6×6=36,S2=3×3= 9h=6,所以=号(S+S码+)h= 3 (36+√36×9+9)×6=126. 四思路点拨 本题主要考查了正棱台的表面积，关键在于利用正棱台侧面是等腰 梯形. 8.C解析：设直棱柱I的底面积为S,高为2h,则棱台Ⅱ的上底面面积 为S,下底面面积为4S,高为3h,棱台Ⅲ的上底面面积为4S,下底面 面积为S,高为5h, 设几何体I,Ⅱ，Ⅲ的体积分别为V1,V2,V3,则V1=S·2h=2Sh,V2= 3(S+4S+S,4)·3h=7%,%=3(4S+S+V48·5)·5h= %,因此y:4:%=2:7:的6：21：35 9.288+8√34解析：由题意可得0E=0F=0G=0H=√32+42= 5,HG=FG=EF=EH=√42+42=4V2, 所以Samc=a0mg=5aom=Sam=}x42×V5-22- 2√34，故该模型的表面积为S=8×8+8×6×4+ ×4×4×4+4× 2 2√34=288+8√34. 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 白题基础过关 1.A解析：设圆锥的母线为1，底面半径为r,侧面展开图扇形的圆心角 为a,则a=60=牙， 因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，所以 ad=2m,即号×1=2，所以1=6则该圆锥的侧面积为ml=6m 2.BC解析：因为AB=4,AC=2√2，所以BC=AB2+BC2=26,即 r=√6. 又因为AA1=3,所以圆柱的侧面积是S=2ml=2π×√6×3=66π，圆 柱的表面积是S=2ml+2πr2=6W6T+12π. 3.C解析：设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,母线长为1，则 r=1,R=2, 由题意得，1仁g巨，所以该圆台的侧面积5=(+W)=3元 4.12π解析：依题意可得，圆锥A的侧面积为T×1×4=4π， 设圆锥B的底面半径为r,则圆锥B的底面积为2=4T,可得r=2, 所以圆锥B的表面积为π×2×4+4π=12m. 参考答案 四方法总结 圆锥（底面半 圆台（上、下底面 圆柱（底面半 几何体 半径分别为r',I, 径为T,高为) 径为「，母线 长为) 母线长为) 、 侧面 9 展开图 0 2T/ 0 底面 S上度=Tr'2, 面积 S底=T2 S底=mr2 S下底=m2 侧面积 S侧=2π7l S侧=Trl S侧=Tl(r'+r) S表=π(r2+ 表面积 S表=2Tr(r+l) S表=Tr(r+l) r2+r'l+rl) 5.C解析：设高为h,因为圆柱的底面半径为1，侧面积为6π，所 以2πh=6π，即h=3,所以圆柱的体积为m2h=3π. 6.B解析：由题意知，半圆的周长为4π，设圆锥底面圆的半径为r,则 4π=2mr,解得r=2,又母线长为4，所以圆锥的高为h=√2-2= 25,所以圆维的体积为=%= 8/5 3. ,B解析：因为溶液高度恰为5cm,所以溶液的上底面半径为5。 3(am),下底面半径为5cm,高为5cm,所以溶液的体积V=号(32+ 543x5)xmx5=245(em）. 8.D解析：一个球的表面积是16π，设球的半径为R,球的表面积公式 为S=4πR2,代入可得16π=4πR2,解得R=2,所以球的体积为V= R=mx2=32m 4 3 9.C解折：8个半径为1的实心铁球的总体积为8xX13=,设 大球半径为(R0),则R-,解得R=2放选C 10.A解析：由已知可得圆柱的底面半径为2，往容器内注水后水面高 度为3，此时放入一个半径为1的实心铁球，铁球的直径为2，所以 铁球完全没入水中.设此时水面的高度为h,则π×22×3+ 3T×13= 2解得=号 11.C解析：由圆0'的面积为27πcm2,得圆0'的半径r=35cm,又等 腰△40B的顶角∠A0B-,则球半径R=0A='元=6m,所以 球0的体积v=智-行×6=28m(am)。 31 12.拆：1：0解析：设三个球的体积为V1,V2,V3,半径分别为R1, R2,R3,表面积分别为S1,S2,S3, 由题意，得V:V,:V,=3 ::如我时民=2 3 1:3,解得R1:R2:R,=2:1:3,所以S1:S2:S,=4πR: 4mR3:4mR附=R:R吃：R3=4:1:5. 13.D解析：花口盏体积V=3m×6x(4+52+4x5)=122m(cm2),盏 托体积，=mx4×6+3mx6x(42+62+4x6)=248m(cm3),所以组 合体的体积V=V1+V2=370mcm3. 14.B解析：由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方 体某个顶点为球心，2为半径的日球后的剩余部分，其表面积等 黑白题041 于正方体表面积减去三个半径为2的}圆，再加上2为半径的 日球面，则5=62-3 4m22+ 8×4×m×22=24-m. 15.行解析：由题意可知以线段CD的垂直平分线为旋转轴旋转一周 得到的几何体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个半径为1的 23mx13=4 半球，所以体积为Tx12×2-1x4 16.C解析：设两球的半径分别为R,1,4rR2-4m2=48m→R2-2= 12,(R+r)(R-T)=12.又2mR+2mr=12m→r+R=6,R-r=2.故 选C. 四方法总结 球的截面的性质： (1)球心和截面圆圆心的连线垂直于载面： (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足 关系式d=√R2-2 17.C解析：因为球0的一截面的面积为2π，所以截面圆的半径为2 又因为球心到该截面的距离为2，所以球的半径为√2+4=√6，所以 球的表面积为4πR2=4×T×6=24π. 重难聚焦 18.A解析：设球的半径为R,因为子R3=45,所以R=3 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱的高为23. 设正三棱柱底面边长为a, 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径，所以=】 ,所以a=6,所以正三棱柱的表面积为3x6x25+2x子x6x6× √3 2=545 19.125m 解析：设该圆锥的底面半径为r,高为h.由扇形圆心角为 48 25π，半径为5，得圆锥底面圆周长为2r=的”×5，解得r=1 5 因为扇形半径为√5，所以2+h2=5,所以h=2.易知球心0在圆锥的 高所在的直线上.设球0的半径为R,则2+(h-R)2=R2,即12+(2- R2=公，解得=至所以球0的体积为子（子）广-2器 125π 8.3阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：设正方体的棱长为acm,则a3+6×4 x1P=子nx2,解得 38正-2 a=√3 2.B解析：作正四棱台的中截面，如图所示，AB,DC,FE分别为丰水、 枯水、井底的水面边长，则AB=3,CD=2,GH=2,H=3. 因为品光治后所以小=1，=宁质以格水时节的水量为 专（E+Dc2+BPDC)x3= 4m3 E B (第2题) (第3题) 必修第二册·RJ 3.B解析：作出旋转体如图所示. 过点D作AB所在直线的垂线，垂足为E,AB=CD=2,BC=AD=1, 3 ∠AC=∠DM6=牙，则A=子，DE 2 即底面圆的半径，为行则圆E的周长为1=2-5， 圆锥侧面展开图的半径为R=AD=1,上下两个圆锥的侧面积为 S=S2=m·ED:AD=TX21=3T】 2 几何体的侧面展开图是一个矩形，S3=2πh=2π× 3 ·AB=2√3T,所 以几何体的表面积为S=S1+S2+S3= 3m5π+25=35m. 2 2 4.C解析：母线SA,SB所成角的正弦值为 ( 设圆 雏的母线长为，则P.压=5，解得1=45， 2 8 故底面半径r= 45=20,故该圆锥的侧面积为l=20× √ 4wW5π=40W2π. 5.AD解析：由题图知R=3r,故A正确，B错误；易知包装盒的高 为2，放=Rx2=18m2,又K=子r,所以2，=27Y,放C赞 误，D正确 6.AC解析：两碗馅料的体积为2× 1.4 2×3mx63=288m(cm3), 11 正三棱锥的体积为3×2×6x35×2,6=18,5(cm),即-个正三 棱锥状的三角粽的体积为18√2cm3, 因为288π÷18√2=8√2π≈35.52，所以这两碗馅料最多可包三角粽 35个，故A正确，B错误； 一个圆柱状竹筒粽的体积为 312 2 ,2×6= 2m(cm3),因为288m 2 2m≈21.33，所以这两碗馅料最多可包竹简棕21个，故C正确， D错误 7.A解析：如图，光线在圆台内部扫过的面积为圆锥P0,PO1的侧面 积令0A=1cm,01B=2cm,设0P=mcm,0,P=ncm,则OP 0,P 1 ∫n+m=3, 2{n=2m, m=1则AP=1+1=2,BP=√22+2= 1n=2, 2W2,∴.圆锥P0,P01的侧面积的和为S=T×1×W2+T×2×2V2= 5W2π(cm2). h 0 6 E (第7题) (第8题) 8.BCD解析：A.易得将扇形AOC绕直线AB旋转一周得到的几何体 是组合体，下方为一个倒置的圆锥，上方为球缺，故A错误； 如图，过点G作B的垂线，垂足为0，因为扇形0AC的面积为、 且乙A0G=号所以号·04=204=R=2 黑白题042