6.4.1 平面几何中的向量方法(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 1.B　∵B（7，5），C（－4，7），∴线段BC的中点D的坐标为（，6），则＝（－，5），∴｜｜＝＝. 2.C　（＋）·（－）＝－＝0，即｜｜＝｜｜，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形. 3.D　以O为原点，分别以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，＝（1，），＝（，1），故cos∠DOE＝＝＝. 4.A　由题意知∠ACB＝∠AOB，设☉O的半径为r，3＋4＝－5两边平方得9r2＋16r2＋24·＝25r2，得·＝0，所以∠AOB＝，故∠ACB＝. 5.C　取BC的中点O，连接AO，如图所示.∵＋2＝0，即＝2，∴M为BC边上靠近C的三等分点，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴·＝0，又＝，∴·＝·（＋）＝·＋·＝·＝｜｜2＝，解得｜｜＝2，即BC＝2. 6.ACD　依题意，因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，＝2，所以＝＝＝2，即M为BC的中点，所以＝＝（＋）＝－，故A正确；因为，不共线，所以＝4错误，故B错误；·＝2×1×cos＝1，故C正确；·＝（－）·（＋）＝＋·－＝，故D正确.故选A、C、D. 7.矩形　解析：由·＝0，可得⊥，即AB⊥BC，又由＝，可得AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD为矩形. 8.　解析：如图所示，取BC中点M，连接AM，则＋＝2，又因为G为△ABC的重心，故＝，因此＝（＋），故λ＝. 9.1　解析：建立平面直角坐标系，如图所示.设AD＝t（t＞0），则A（0，0），C（1，t），B（2，0），则＝（1，t），＝（－1，t）.由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1. 10.证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点， ∴＝＋. ∴＝－＝. 同理可证明＝－＝. ∴＝－， ∴，共线. 又与有公共点A， ∴M，A，N三点共线. 11.D　将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则＝＝＝＝－6＝42－6＝10. 12.C　假设BC的中点是O，则－＝（＋）·（－）＝2·＝2·，即（－）·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心. 13.1∶3　解析：如图，设D为BC边的中点，则＝（＋）.因为3－－＝0.所以3＝＋＝2，所以＝，所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC，所以△ABM与△ABC的面积之比为1∶3. 14.解：（1）若t＝，则＝，即D为BC的中点， 所以＝（＋）， 因为∠BAC＝，AC＝2，AB＝4， 所以｜｜ ＝ ＝＝. （2）若t＝，则＝＝（－）， 因为AD恰为BC边上的高，所以⊥， 因为＝＋＝＋（－）＝＋，＝－， 所以·＝（＋）·（－） ＝－·－ ＝×22－×2×4×cos∠BAC－×42＝0， 所以cos∠BAC＝0，则∠BAC＝. 15.解：（1）证明：建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意可知｜OB｜＝1， 法一　设∠COB＝α，则α∈（0，π）， A（－1，0），B（1，0），C（cos α，sin α），则有＝（cos α＋1，sin α），＝（cos α－1，sin α）， 所以·＝cos2α－1＋sin2α＝1－1＝0，故⊥，即AC⊥BC. 法二　A（－1，0），B（1，0），设C（a，b）， 则｜OB｜＝｜OC｜＝＝1，得a2＋b2＝1，得＝（a＋1，b），＝（a－1，b）， 所以·＝a2－1＋b2＝1－1＝0，故⊥，即AC⊥BC. （2）由题意得∠COB＝，则C（，），连接QO，设∠QOB＝β，则β∈（，π），Q（cos β，sin β）. 由（1）得＝－＝（，－），＝（－1－cos β，－sin β）， 所以·＝－－cos β＋sin β＝sin（β－）－， 由β∈（，π），得β－∈（，），当β－＝，即β＝时，（·）max＝， 所以·的最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1　平面几何中的向量方法 1.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边上的中线AD的长是（　　） A.2 B. C.3 D. 2.在△ABC中，若（＋）·（－）＝0，则△ABC（　　） A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 3.正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝（　　） A. B. C. D. 4.已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且3＋4＝－5，则∠ACB的大小为（　　） A. B. C. D. 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则BC的长为（　　） A.1 B. C.2 D.3 6.〔多选〕如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝，＝2，延长DP交BC于点M，则（　　） A.＝－ B.＝4 C.·＝1 D.·＝ 7.在四边形ABCD中，若·＝0，且＝，则四边形ABCD的形状是　　　　. 8.已知G为△ABC的重心，且＝λ（＋），则λ＝　　　　. 9.已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝　　　　. 10.如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线. 11.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝（　　） A.2 B.4 C.5 D.10 12.在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的（　　） A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 13.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为　　　　. 14.在△ABC中，AC＝2，AB＝4，点D在边BC上，且＝t（t∈R）. （1）若t＝，∠BAC＝，求｜｜； （2）若t＝，AD恰为BC边上的高，求∠BAC. 15.如图，AB为半圆O的直径，｜AB｜＝2，C为上一点（不含端点）. （1）用向量的方法证明AC⊥BC； （2）若C是上更靠近点B的三等分点，Q为上的任意一点（不含端点），求·的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $