6.2.4 第1课时 向量的夹角、数量积的定义及投影向量(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.4　向量的数量积 第一课时　向量的夹角、数量积的定义及投影向量 1.B　a·b＝｜a｜｜b｜cos 135°＝3×4×（－）＝－6.故选B. 2.B　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）. 3.B　设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[－1，1]，则a·b＝｜a｜｜b｜cos θ≤｜a｜｜b｜.故选B. 4.C　根据b在a上的投影向量为－2a，得·＝－2a，即a·b＝－2｜a｜2＝－2×4＝－8.故选C. 5.ABD　因为表示与向量a同方向的单位向量，所以＝1，∥a，即A、B正确；当a不是单位向量时，≠a，所以C错误；因为·a＝｜｜·｜a｜cos 0°＝×｜a｜＝｜a｜，所以D正确. 6.ABC　对于A，△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°时，在上的投影向量为0，故A正确；对于B，｜－｜＝｜｜＝｜｜，故B正确；对于C，·＝｜｜｜｜cos A＜0，所以cos A＜0，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故D错误.故选A、B、C. 7.　解析：a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝. 8.4　解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜·cos θ＝16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜·cos θ e＝4e，∴｜a｜cos θ＝4，∴｜b｜＝4. 9.－R2　解析：因为圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，所以｜｜＝｜｜＝R，＜，＞＝，＜，＞＝π－＝，｜｜＝R，所以·＝｜｜·｜｜cos＜，＞＝R2cos ＝－R2. 10.解：（1）由a·b＝｜a｜｜b｜cos θ， 得cos θ＝＝＝－. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. （2）a在b上的投影向量为｜a｜cos θ e＝－e. 11.D　过O作OH⊥AB，垂足为H，如图所示，易知H为AB的中点，故·＝｜｜·｜｜·cos∠OAB＝｜｜·｜｜·＝｜｜2＝18.故选D. 12.ABD　A、B显然正确；对于C，·（＋＋）＝·（＋－＋）＝2·＝b2，若·（＋＋）＝（a2＋b2＋c2）成立，则△ABC为直角三角形，否则不成立，所以C不一定正确；对于D，设AD＝x，BD＝y，CE＝z，则解得x＝，如图，·－·＝｜｜c－｜｜b＝｜｜（c－b）＝.故A、B、D正确. 13.等边三角形　－8　解析：·＝｜｜｜｜cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时·＝｜｜｜｜cos 120°＝－8. 14.解：（1）由已知可得＝，连接AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－（＋）＝－－. （2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1， 则·＝cos 60°＝. 所以·的取值范围为［，］. 15.证明：令向量，的夹角为θ. ∵M，P，Q为平面内三点， ∴0°≤θ≤180°， ∴－1≤cos θ≤1， 又·＝｜｜｜｜cos θ， ∴－｜｜｜｜≤·≤｜｜｜｜，　 ∴｜·｜≤｜｜｜｜， 当且仅当cos θ＝±1即θ＝0°或180°时，｜·｜＝｜｜｜｜. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　向量的夹角、数量积的定义及投影向量 1.若｜a｜＝3，｜b｜＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝（　　） A.－3 B.－6 C.6 D.2 2.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（　　） A.100 J B.50 J C.50 J D.200 J 3.对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（　　） A.a·b≥｜a｜｜b｜ B.a·b≤｜a｜｜b｜ C.a·b＞｜a｜｜b｜ D.a·b＜｜a｜｜b｜ 4.已知向量｜a｜＝2，b在a上的投影向量为－2a，则a·b＝（　　） A.4 B.8 C.－8 D.－4 5.〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（　　） A.｜｜＝1 B.∥a C.＝a D.·a＝｜a｜ 6.〔多选〕在△ABC中，下列说法正确的是（　　） A.在上的投影向量可能为0 B.｜－｜＝｜｜ C.若·＜0，则△ABC为钝角三角形 D.若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° 7.若向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝　　　　. 8.已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则｜b｜＝　　　　. 9.已知圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·＝　　　　. 10.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量. （1）求a与b的夹角θ； （2）求a在b上的投影向量. 11.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中，AB＝6，O是该正五角星的中心，则·＝（　　） A.－18 B.－12 C.12 D.18 12.〔多选〕在△ABC中，边长分别为a，b，c，外接圆半径为1，则下列结论中正确的是（　　） A.若G是重心，则＋＋＝0 B.若H是垂心，则·＋·＋·＝0 C.若I是外心，则·（＋＋）＝（a2＋b2＋c2） D.若O是内心，则·－·＝ 13.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是　　　　，·＝　　　　. 14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量； （2）求·的取值范围. 15.设M，P，Q为平面内三点，求证｜·｜≤｜｜｜｜，并确定等号成立的条件. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $