第8章 培优课 空间几何体的截面问题 能力提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦空间几何体截面这一核心知识点，系统梳理截面定义、交线与交点概念，通过直接法、平行法、延长线法三种作截面方法构建学习支架，衔接从理解概念到作图实践再到面积周长计算的完整学习脉络。 该资料以直观想象、逻辑推理、数学运算为核心素养导向，设计正方体截面最大面积、直三棱柱截面形状判断等实例，通过“例题解析+规律方法+训练题”模式深化理解。课中助力教师系统授课，课后学生可通过分层练习巩固方法，有效查漏补缺。

1.理解空间几何体被平面所截所得的截面、交线、交点（直观想象）. 2.会作简单几何体的截面图（逻辑推理、直观想象）. 3.会计算简单几何体截面图的面积、周长或部分交线长（数学运算）. 　　 截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点. 一、直接法作截面 【例1】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B1，B1C1的中点，过M，N的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为（　　） A.2 B.2 C. D. 【规律方法】 若截面与几何体的交点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. 训练1　〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为棱A1C1，B1C1，BC，AC上的点，过E，F，G，H四点作截面，则截面的形状可以为（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 二、平行法作截面 【例2】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为时，求线段AP的长. 【规律方法】 若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. 训练2　如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，过A，D1，E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分，则该截面的周长为（　　） A.3＋2 B.2＋＋3 C. D.2＋2＋2 三、延长线法作截面 【例3】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法. 【规律方法】 若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 训练3　已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA中点，过点C，D，M的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为α.若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置. 1.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是（　　） A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形 2.已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（　　） A.（3＋3）π B. C.（4＋6）π D.（6＋6）π 3.（2025·中山月考）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C的中心，则过点A，M，N的平面截正方体的截面面积为　　　　. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是A1D1，C1D1，AA1的中点，试过P，Q，R三点作其截面. 1.理清单 （1）直接法作截面； （2）平行线法作截面； （3）延长线法作截面. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 线面交点、面面交线易标错画错. 提示：完成课后作业　第八章　培优课 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　空间几何体的截面问题 【例1】　D　如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯形MNCA，其中MN＝，AC＝2，AM＝CN＝，高为h＝＝，故面积为×（＋2）×＝. 训练1　ACD　 截面图如图所示，因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，则平面A1B1C1∥平面ABC，截面过平面A1B1C1、平面ABC，则交线EF∥HG，当FG不与B1B平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形EFGH为梯形；当FG∥B1B时，此时截得的EH∥FG，FG⊥EF，当EH≠EF时，四边形EFGH为矩形；当EH＝EF时，四边形EFGH为正方形.故A、C、D正确. 【例2】　解：如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR. 因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因为B1D1⊂平面B1D1C，PQ⊄平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C. 因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C.因为B1C⊂平面B1D1C，PR⊄平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C. 又PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面， 易知△PQR是等边三角形，则PQ2·＝，解得PQ＝2，所以AP＝PQ＝. 训练2　A　如图，取BC的中点F，连接EF，AF，BC1，E，F分别为棱CC1，BC的中点，则EF∥BC1，又在正方体中BC1∥AD1，则有EF∥AD1，所以平面AFED1为所求截面，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以EF＝，D1E＝AF＝＝，AD1＝2，所以四边形AFED1的周长为3＋2. 【例3】　解：如图所示， 五边形DQMFN为所求截面. 作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，所以五边形DQMFN即为所求截面. 训练3　解：延长DC交AB的延长线于E，连接ME交PB于F，连接FC，如图，四边形MFCD为截面α.在△ADE中，BC∥AD，由＝，则C为DE中点，B为AE中点，过M作MN∥AB交PB于N，则MN＝AB＝1，∴△MNF∽△EBF，∴＝＝，∴BF＝2NF，即BF＝BP，∴F为棱PB上靠近点B的三等分点. 随堂检测 1.D　根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形.故选D. 2.B　依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为r＝，所以圆锥的表面积为π×（）2＋π××3＝.故选B. 3.a2　解析：如图，连接AC，则AC过点M，连接B1C，则B1C经过点N，连接AB1，则过点A，M，N的平面截正方体的截面为等边△ACB1，因为正方体棱长为a，故△ACB1边长为a，面积为·（a）2＝a2. 4.解：如图，取BC的中点为F，延长PR，DA交于点E，连接EF交AB于点G，则G为AB的中点，延长GF，DC交于点H，连接HQ交CC1于点I，所得六边形PRGFIQ即为所作截面. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $