第6章 培优课 解三角形中的综合问题 能力提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

培优课　解三角形中的综合问题 【例1】　解：（1）因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0， 由正弦定理得sin Asin B－sin Bcos A＝0， 又B∈（0，π），所以sin B≠0，所以sin A－cos A＝0，则tan A＝，又A∈（0，π），所以A＝. （2）由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为a＝，b＝2，A＝，所以7＝4＋c2－2c，解得c＝3或c＝－1（舍）， 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×3×＝. 训练1　C　在△ABC中，由正弦定理＝＝，及acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，即sin（A－B）＝sin C，又C＝，所以sin（A－B）＝sin C＞0，所以0＜A－B＜π，所以A－B＝C或A－B＝π－C.易知A＋B＝，当A－B＝C＝时，A＝，B＝；当A－B＝π－C＝时，A＝，B＝0，不合题意，舍去.综上，B＝.故选C. 【例2】　解：（1）由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. （2）由f（＋）＝3sin（A＋π）＝－，得sin A＝. 因为B＝2A＜π，所以A为锐角，所以cos A＝. 由正弦定理，得＝， 从而b＝·sin 2A＝·2sin Acos A＝6cos A＝4. 易得cos B＝cos 2A＝1－2sin2A＝－， 结合余弦定理的推论，cos B＝， 得－＝，解得c＝（负值已舍去）. 训练2　解：（1）f（x）＝＝＝＝－. ∵f（）＝－，∴－＝－，∴sin（－A）＝1. 又0＜A＜π，∴－＜－A＜， ∴－A＝，∴A＝. （2）∵△ABC的面积S＝bcsin A＝bc·＝，∴bc＝4， 设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知＝＝＝2R， sin B＝，sin C＝，a＝R，sin B＋sin C＝⇒b＋c＝R， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ， ∴a2＝（b＋c）2－3bc， ∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝2. 【例3】　解：（1）∵cos ＝cos（－）＝sin ，∴bsin ＝asin B， 由正弦定理得sin Bsin ＝sin Asin B， ∵sin B≠0，∴sin ＝sin A， ∴sin ＝2sin cos ，∵A∈（0，π），∈（0，），∴sin ≠0，得cos ＝，即＝， ∴A＝. （2）∵·＝3， ∴bccos（π－A）＝3，得bc＝6， 由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bccos A＝13， ∵＝（＋）， ∴｜｜2＝（＋）2＝（c2＋b2＋2bccos A）＝， ∴｜｜＝，即AD的长为. 训练3　解：（1）由asin B＝bcos A及正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A， 因为A，B∈（0，π），则sin B＞0，可得sin A＝cos A＞0， 则tan A＝，因此A＝. （2）因为＝（＋）， 所以2＝＋，所以4＝（＋）2＝＋＋2·， 即28＝c2＋b2＋2bccos∠BAC＝c2＋b2＋bc， 即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）. 【例4】　A　∵b2＋c2－a2＝bc，∴cos ∠BAC＝＝，∵B＝，∴∠BAC∈（0，） ，∴∠BAC＝，∴C＝，∴＝，∴c＝×＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝，∴∠AEB＝π－－＝，∴＝，∴AE＝＝×sin ＝×＝. 训练4　解：∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为2， ∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×2×4×sin∠BAC＝2， ∴sin∠BAC＝，又∠BAC为钝角， ∴∠BAC＝， ∵AE为∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝， ∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE， ∴AB·AE·sin＋AC·AE·sin＝2， 即×2AE×＋×4AE×＝2， ∴AE＝. 【例5】　解：（1）由a2－ac＋c2＝b2及余弦定理得2accos B＝ac，所以cos B＝， 又B∈（0，π），所以B＝. （2）因为B＝，所以cos A＋cos C＝cos A＋cos（－A）＝sin A＋cos A＝sin（A＋）， 因为0＜A＜，所以A＋∈（，π）， 所以sin（A＋）∈（0，1]， 所以cos A＋cos C∈（0，1]， 故cos A＋cos C的取值范围为（0，1]. 训练5　2　解析：由题意及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos A，即sin（B＋C）＝3sin Acos A，而A＋B＋C＝π，故sin A＝3sin Acos A，又sin A≠0，则cos A＝，故sin A＝，而a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，S＝bcsin A＝，所以＝≥＝2，当且仅当b＝c时，等号成立，故的最小值为2. 随堂检测 1.C　由题知周长为a＋b＋c＝4（＋1）①，∵sin B＋sin C＝sin A，由正弦定理得b＋c＝a②，∴由①②可解得a＝4.故选C. 2.D　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D. 3.　解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.在△ABC中，AB＝1，BD＝＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3，因此AD＝. 4.　解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得，×2×3×sin 120°＝×2AD×sin 60°＋×3AD×sin 60°，解得AD＝. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、解三角形与三角恒等变换的综合问题 【例1】　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝（a，b）与n＝（cos A，sin B）平行. （1）求A； （2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积. 【规律方法】 对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋B＋C＝π）展开的，一般是通过正弦、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解. 训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　） A.　　　　　　　　 B. C. D. 二、解三角形与三角函数的综合问题 【例2】　已知函数f（x）＝3sin（2x＋）. （1）求f（x）的单调递增区间； （2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（＋）＝－，B＝2A，a＝3，求c. 【规律方法】 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 （1）转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地将问题转化为三角函数的问题； （2）用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化； （3）得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值或讨论三角函数的基本性质等. 训练2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f（x）＝sin（x＋B）＋cos（x＋B）tan C，且f（）＝－. （1）求角A； （2）若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值. 三、解三角形中的中线问题 【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B. （1）求A； （2）若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长. 【规律方法】 求解三角形中线问题的常用方法 （1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（BD2＋AD2）； （2）向量法：＝（b2＋c2＋2bccos A）. 训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足asin B＝bcos A. （1）求角A的大小； （2）若BC边上的中线AD＝，且c＝4，求b的值. 四、解三角形中的角平分线问题 【例4】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝（　　） A. B. C.2 D.3 【规律方法】 求解三角形中角平分线问题的常用方法 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c： （1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD； （2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝； （3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC⇒AD＝（角平分线长公式）. 训练4　在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2.若∠BAC的平分线与BC交于点E，求AE的长. 五、解三角形中的最值（范围）问题 【例5】　在△ABC中，a2－ac＋c2＝b2. （1）求B的大小； （2）求cos A＋cos C的取值范围. 【规律方法】 解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）. 训练5　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝3acos A，若S为△ABC的面积，则的最小值为　　　　. 1.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4（＋1），且sin B＋sin C＝sin A，则a＝（　　） A.　　 　 B.2 C.4　　　 D.2 2.在△ABC中，BC＝3，AC＝5，＜B＜π，则边AB的取值范围是（　　） A.（2，8） B.（1，4） C.（4，＋∞） D.（2，4） 3.已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为　　　　. 4.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的角平分线，则AD＝　　　　. 1.理清单 （1）解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题； （2）解三角形中的中线与角平分线问题； （3）解三角形中的最值（范围）问题. 2.应体会 解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.体现了数形结合、转化与化归的思想方法. 3.避易错 求三角形中有关最值与范围时易忽视三角形的内角范围. 提示：完成课后作业　第六章　培优课 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $