10.1.2 事件的关系和运算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦“事件的关系和运算”核心知识点，通过掷骰子、硬币等试验引入，从集合关系类比事件的包含与相等，再延伸至并、交运算，最后辨析互斥与对立事件，构建从具体到抽象的学习支架。 以问题驱动培养数学抽象，表格化梳理知识助于数学思维构建，结合射击、摸球等实例提升数学语言表达。课中教师可借实例引导，课后学生通过训练题巩固，有效查漏补缺。

10.1.2　事件的关系和运算 了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算（数学抽象、数学建模）. 　　 知识点一｜事件的关系 问题1　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如： Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6； D1＝“点数小于3”；D2＝“点数不小于3”； E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”； F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”； …… 用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现两事件之间的联系吗？事件D1与E1呢？ 【知识梳理】 定义 符号表示 图形表示 包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B　　　　　　，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） B　　　A （或A　　　B） 相等 关系 如果事件B　　　　事件A，事件A　　　事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A　　B 【例1】　在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A＝“出现1点”；B＝“出现2点”；C＝“出现3点”；D＝“出现4点”；E＝“出现5点”；F＝“出现6点”；G＝“出现的点数不大于1”；H＝“出现的点数小于5”；I＝“出现奇数点”；J＝“出现偶数点”. 请判断下列两个事件的关系： （1）B　　　　　H；（2）D　　　　　J；（3）E　　　　　I；（4）A　　　　　G. 【规律方法】 判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系. 训练1　掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A＝“3次正面向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系. 知识点二｜事件的运算 问题2　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数： （1）用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”，事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ （2）事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”，事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 【知识梳理】 定义 符号表示 图形表示 并事件 （或和 事件） 一般地，事件A与事件B　　　有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） A　　　B （或A　　B） 交事件 （或积 事件） 一般地，事件A与事件B　　　发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） A　　　B （或AB） 　　提醒：对于三个事件A，B，C，至少有一个发生可表示为A∪B∪C（或A＋B＋C）；同时发生可表示为A∩B∩C（或ABC）. 【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”. 求：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？ （2）事件C与A的交事件是什么事件？ 变式　在本例中，设事件E＝“3个红球”，事件F＝“3个球中至少有一个白球”，那么事件C与B，E分别是什么关系？C与F的交事件是什么事件？ 【规律方法】 事件间的运算方法 （1）利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算； （2）利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算. 训练2　（1）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发 D.以上均不正确 （2）在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用（i，j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N＝（　　） A.{（6，6）} B.{（4，6），（6，6）} C.{（5，6），（6，6）} D.{（4，6），（6，4），（6，6）} 知识点三｜互斥事件与对立事件 问题3　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数： （1）用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ （2）用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 【知识梳理】 1.互斥事件 定义 一般地，如果事件A与事件B　　　　　　发生，也就是说A∩B是一个　　　　事件，即A∩B＝　　　　，则称事件A与事件B互斥（或互不相容） 含义 A与B不能同时发生 符号表示 A∩B＝⌀ 图形表示 2.对立事件 定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中　　　　　发生，即A∪B＝　　　　，且A∩B＝⌀，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为　　　　 含义 A与B　　　　　　　　发生 符号表示 A∩B＝⌀，A∪B＝Ω 图形表示 　　提醒：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立. 【例3】　（1）一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”互为对立事件的是（　　） A.两次均击中 B.恰有一次击中 C.第一次击中 D.两次均未击中 （2）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（　　） A.“至少有1个红球”与“都是黑球” B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球” C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D.“都是红球”与“都是黑球” 【规律方法】 辨析互斥事件与对立事件的思路 （1）从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生； （2）从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件. 训练3　（1）一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（　　） A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.不互斥也不对立 （2）如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，则下列说法正确的是（　　） A.A∪B是必然事件 B.∪是必然事件 C.与一定互斥 D.与一定不互斥 1.掷一枚骰子，设事件A＝“出现的点数不小于5”，B＝“出现的点数为偶数”，则事件A与事件B的关系是（　　） A.A⊆B B.A∩B＝“出现的点数为6” C.事件A与B互斥 D.事件A与B对立 2.若干人站成一排，其中为互斥事件的是（　　） A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙站排尾” C.“甲站排头”与“乙不站排头” D.“甲不站排头”与“乙不站排头” 3.掷一颗骰子，若事件A：出现奇数点，则A的对立事件为　　　. 4.甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是　　　　，事件“密码被破译”可表示为　　　　. 1.理清单 （1）事件的包含关系与相等关系； （2）并事件和交事件； （3）互斥事件和对立事件. 2.应体会 列举法、Venn图法. 3.避易错 互斥事件和对立事件之间的关系易混淆. 提示：完成课后作业　第十章　10.1　10.1.2 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.2　事件的关系和运算 知识点一 问题1　提示：G＝{1，3，5}，{1}⊆{1，3，5}，即C1⊆G.D1＝{1，2}，E1＝{1，2}，即D1＝E1. 知识梳理 一定发生　⊇　⊆　包含　也包含　＝ 知识点二 问题2　（1）提示：D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1. （2）提示：C2＝{2}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，{1，2}∩{2，3}＝{2}，即E1∩E2＝C2. 知识梳理 至少　∪　＋　同时　∩　 知识点三 问题3　（1）提示：C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝⌀. （2）提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.F∪G＝Ω，F∩G＝⌀. 知识梳理 1.不能同时　不可能　⌀ 2.有且仅有一个　Ω　　有且仅有一个 10.1.2　事件的关系和运算 【例1】　（1）⊆　（2）⊆　（3）⊆　（4）＝ 解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G. 训练1　解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C. 【例2】　解：（1）对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B. （2）对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A. 变式　解：由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C.而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球或2个白球、1个红球或3个白球，所以C∩F＝D. 训练2　（1）B　（2）D　解析：（1）A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B. （2）根据题意，事件M＝{（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，事件N＝{（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）}，所以事件M∩N＝{（4，6），（6，4），（6，6）}. 【例3】　（1）D　（2）D　解析：（1）事件“至少有一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”，与“两次均未击中”互为对立事件，因此D正确. （2）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果有以下三种：1红1黑、2红、2黑.“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，与“都是黑球”是对立事件，因此A不满足题意；“恰好有1个红球”和“恰好有1个黑球，是同一个事件，因此B不满足题意；“至少有1个黑球”包括1红1黑、2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，因此C不满足题意；“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，因此D满足题意. 训练3　（1）C　（2）B　解析：（1）必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立. （2）用Venn图解决此类问题较为直观， 如图所示，∪是必然事件，则B正确，A、C错误.若A与B互斥且对立，则＝B，＝A，则D错误. 随堂检测 1.B　由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝“出现的点数为6”. 2.A　根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件. 3.出现偶数点　解析：掷一颗骰子，事件A：出现奇数点，则A的对立事件为出现偶数点. 4.只有一人破译出密码　B∪A∪AB 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $