9.2.1 第1课时 总体取值规律的估计(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦总体取值规律的估计，核心知识点为频率分布表的作法、频率分布直方图的画法及用其估计总体。通过问题导入衔接数据整理基础，以知识梳理搭建绘制步骤框架，结合实例与训练形成从数据到图表再到总体估计的学习支架。 资料以问题驱动激发数学眼光，如通过居民用水比例问题引导观察数据规律；例题训练强化数学思维，例1结合身高数据作图表培养数据分析与运算能力，例2用直方图求达标率体现逻辑推理。课中辅助教师引导学生从具体数据抽象为统计图表，课后练习助学生巩固绘制与应用技能，查漏补缺。

第一课时　总体取值规律的估计 1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法（数据分析）. 2.掌握用频率分布直方图估计总体（数据分析、数学运算）. 　　 知识点一｜频率分布直方图 问题　（1）请阅读课本第193页到第194页，为了探索一组数据的取值规律，我们通常要怎样做？ （2）如果要统计月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，采用什么表示更直观？ 【知识梳理】 绘制频率分布直方图的步骤 　　提醒：频率分布直方图的纵轴表示，频数分布直方图的纵轴表示频数. 【例1】　为调查某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据（单位：cm）如下： 171　163　163　166　166　168　168　160 168　165　171　169　167　169　151　168 170　168　160　174　165　168　174　159 167　156　157　164　169　180　176　157 162　161　158　164　163　163　167　161 （1）作出频率分布表； （2）画出频率分布直方图. 【规律方法】 绘制频率分布直方图的注意点 （1）各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1； （2）同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同； （3）同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个相同容量的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但它们都可以近似地看作总体的分布. 训练1　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）及各组的频数如下： [40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计成绩在[70，100]分的学生比例. 知识点二｜频率分布直方图的应用 【例2】　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. （1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？ （2）若次数在110次以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ 变式　（1）在本例条件下，求样本中不达标的学生人数是多少； （2）在本例条件下，求跳绳次数在[100，130）内的人数. 【规律方法】 频率分布直方图的应用中的计算问题 （1）小长方形的面积＝组距×＝频率； （2）各小长方形的面积之和等于1； （3）＝频率，此关系式的变形为＝样本量，样本量×频率＝频数. 训练2　（2025·福州月考）某校100名学生期中考试物理成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]. （1）求图中a的值； （2）若这100名学生的物理成绩在某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数. 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（　　） A.总体容量越大，估计越精确 B.总体容量越小，估计越精确 C.样本容量越大，估计越精确 D.样本容量越小，估计越精确 2.一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示： 分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70] 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据在[20，60）内的频率为（　　） A.0.5 B.0.24 C.0.6 D.0.8 3.（2025·中山月考）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则n，p的值分别为（　　） A.200，0.015 B.100，0.010 C.100，0.015 D.1 000，0.010 4.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重（单位：kg）情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示.已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校准备报考飞行员的总人数为　　　　. 1.理清单 （1）频率分布直方图的画法； （2）频率分布直方图的应用. 2.应体会 图表识别、数据分析. 3.避易错 对频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清. 提示：完成课后作业　第九章　9.2　9.2.1　第一课时 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2　用样本估计总体 9.2.1　总体取值规律的估计 第一课时　总体取值规律的估计 知识点一 问题　（1）提示：一般先用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来. （2）提示：频率分布表或频率分布直方图. 知识梳理 最大值与最小值　　5～12　前闭后开　样本量　1　 9.2　用样本估计总体 9.2.1　总体取值规律的估计 第一课时　总体取值规律的估计 【例1】　解：（1）最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下： 分组 频数 频率 [149.5，153.5） 1 0.025 [153.5，157.5） 3 0.075 [157.5，161.5） 6 0.15 [161.5，165.5） 9 0.225 [165.5，169.5） 14 0.35 [169.5，173.5） 3 0.075 [173.5，177.5） 3 0.075 [177.5，181.5] 1 0.025 合计 40 1 （2）频率分布直方图如图所示. 训练1　解：（1）频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 频率/组距 [40，50） 2 0.04 0.004 [50，60） 3 0.06 0.006 [60，70） 10 0.2 0.02 [70，80） 15 0.3 0.03 [80，90） 12 0.24 0.024 [90，100] 8 0.16 0.016 合计 50 1.00 0.1 （2）频率分布直方图如图所示. （3）学生成绩在[70，100]分的频率为0.3＋0.24＋0.16＝0.70＝70％，所以估计成绩在[70，100]分的学生比例为70％. 【例2】　解：（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08. 又因为第二小组的频率＝， 所以样本量＝＝＝150. （2）由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100％＝88％. 变式　解：（1）由例2（1）（2）知达标率为88％，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12. 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18. （2）跳绳次数在[100，130）内的频率为＝0.72. 又因为样本量为150， 所以跳绳次数在[100，130）内的人数为150×0.72＝108. 训练2　解：（1）依题意得，10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1， 解得a＝0.005. （2）数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70）之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80）之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10. 随堂检测 1.C　用样本的频率分布估计总体的频率分布时，在总体一定时，样本的容量越大，估计就越精确. 2.D　因为样本数据在[20，60）内的频数为3＋4＋5＋4＝16，样本容量为20，所以在[20，60）内的频率为＝0.8. 3.B　利用频率之和为1可得，p×10＝1－（0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005）×10＝0.1，解得p＝0.010，根据频率、频数、样本容量之间的关系可得，＝0.1，解得n＝100. 4.48　解析：设该校准备报考飞行员的总人数为n，第1小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25.又第2小组的频数为12，则有0.25＝，解得n＝48. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $