9.1.2 分层随机抽样(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦分层随机抽样核心知识点，通过现实问题（如中小学生近视调查）引入，系统梳理定义（分层、独立抽样、层）、比例分配方法，再到抽样方案设计步骤及样本均值估计，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 该资料以实例驱动教学，通过问题链引导学生抽象分层抽样的必要性，体现数学抽象素养。结合比例分配计算（如产品抽样、车间调查）和样本均值估计（视力调查），培养数据分析与数学运算能力。课中例题与训练助力教师高效授课，课后总结与练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

9.1.2　分层随机抽样 知识点一 问题1　（1）提示：此总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异；抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性. （2）提示：有，可分不同群体抽取. 知识梳理 1.子总体　简单随机抽样　层 2.成比例 知识点二 问题2　提示：第一步，按某种特征将总体分成若干部分（层）； 第二步，计算各层所占比例.所占比例＝； 第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数＝样本量×各层所占比例； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽取的样本，组成总样本. 知识点三 问题3　提示：＝＝Xi， ＝＝xi， ＝＝Yi， ＝＝yi. 知识梳理 ＋　＋ 9.1.2　分层随机抽样 【例1】　B　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样. 训练1　（1）C　（2）C　解析：（1）为了保证每个个体被等可能地抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按比例分配等可能抽样. （2）因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层随机抽样；从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样.故选C. 【例2】　解：先将产品按等级分成三层：第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个. 然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为＝，所以应在第一层中抽取产品20×＝6（个），在第二层中抽取产品30×＝9（个），在第三层中抽取产品50×＝15（个）. 分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数法在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层随机抽样得到了一个容量为30的样本. 训练2　（1）D　（2）500　解析：（1）由分配比例可得，＝，解得n＝13. （2）设该校高中部有m名学生，则＝，解得m＝500.则该校高中部有500名学生. 【例3】　解：初中部抽取的人数为60×＝34，高中部抽取的人数为60×＝26， 整个学校平均视力为×1.0＋×0.8≈0.91， 所以在初中部、高中部各抽取34人，26人，整个学校平均视力约为0.91. 训练3　（1）D　（2）ABD　解析：（1）甲、乙两地的人均年收入为×8＋×10＝9.2（万元）. （2）由分层随机抽样的概念可得样本平均值为×170.2＋×160.8≈165.4（cm），由此可以估计总体平均值约为165.4 cm，故A正确；由平均数的计算公式可得，样本平均值为×170.2＋×160.8≈163.6（cm），由此可以估计总体平均值约为163.6 cm，故B正确；由B可知，163.6为样本平均值，我们可以由此估计出总体平均值，而不是确定的总体平均值，故C错误；如果仅根据男生、女生的样本均值，可以估计出总体的均值，不能计算出准确的总体均值，故D正确. 随堂检测 1.A　从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此采用的是分层随机抽样. 2.C　因为抽取的样本容量为45，且高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，那么高三年级抽取45－15－10＝20（人），设高中部学生人数为n，则＝，得n＝＝1 350. 3.ABD　总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，因此A正确；在对分层随机抽样的每一层进行抽样时，采用的是简单随机抽样，因此B正确；分层随机抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等（有剔除时可能性也相等），C错误；百货商场的抽奖活动是抽签法，也叫抓阄，因此D正确. 4.6　解析：＝×3＋×8＝6. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1.2　分层随机抽样 1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围（数学抽象）. 2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法（数据分析）. 3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值（数学建模、数学运算）. 　　 知识点一｜分层随机抽样 问题1　某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小. （1）上述问题中样本总体有什么特征？若采用抽签法会出现什么结果？ （2）为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问题吗？ 【知识梳理】 1.定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个　　　　，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行　　　　　　　　，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为　　　　. 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小　　　　，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 【例1】　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（　　） A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本 C.从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 【规律方法】 分层随机抽样的前提和遵循的两条原则 （1）前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取； （2）遵循的两条原则：①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比. 训练1　（1）分层随机抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行（　　） A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.所有层按比例分配等可能抽样 D.所有层抽取个体数量相同 （2）要完成下列两项调查： ①某社区有100户高收入家庭，210户中收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标； ②从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况. 应采用的抽样方法分别是（　　） A.①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B.①②都用简单随机抽样 C.①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D.①②都用分层随机抽样 知识点二｜分层随机抽样的方案设计 问题2　你能总结一下按比例分层随机抽样的步骤吗？ 【例2】　在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程. 【规律方法】 设计分层随机抽样方案的思路 在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键.一般地，按抽样比k＝（N为总体容量，n为样本量）在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性.注意在每层抽样时，应灵活采用简单随机抽样的方法. 训练2　（1）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝（　　） A.9 B.10 C.12 D.13 （2）某学校的学生由小学部、初中部、高中部构成，其中小学部与初中部共有700人，该校领导采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12名学生进行家访，若高中部抽取了5名学生，则该校高中部有　　　　名学生. 知识点三｜用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数 问题3　在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数以及第2层的总体平均数和样本平均数该如何计算？ 【知识梳理】 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，两层抽取的样本量分别为m和n，两层的样本平均数分别为和，两层的总体平均数分别为和，总体平均数为，样本平均数为，则＝　　　　　　　　　　，＝　　　　　　　　　　.在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 【例3】　某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少（保留两位小数）？ 【规律方法】 分层随机抽样相关计算时常用的三个关系 （1）＝； （2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比； （3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为＝＋＝＋. 训练3　（1）（2025·济宁质检）已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为（　　） A.8万元　 B.8.2万元 C.9万元　 D.9.2万元 （2）〔多选〕高二年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.则下列论述正确的是（　　） A.若各层按比例分配抽取样本量为100的样本，可以用×170.2＋×160.8≈165.4（cm）来估计总体均值 B.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，可以用×170.2＋×160.8≈163.6（cm）来估计总体均值 C.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总样本的均值为×170.2＋×160.8≈163.6（cm） D.如果仅根据男生、女生的样本均值，无法计算出总样本的均值 1.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是（　　） A.分层随机抽样 B.抽签法 C.随机数法 D.其他随机抽样 2.某中学高中部有三个年级，其中高三年级有600人，采用分层随机抽样抽取一个容量为45的样本.已知高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，则高中部的总人数是（　　） A.1 200 B.1 300 C.1 350 D.1 420 3.〔多选〕下列关于抽样的说法正确的是（　　） A.总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法 B.在对分层随机抽样的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样 C.分层随机抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等（有剔除时例外） D.百货商场的抽奖活动是抽签法 4.在分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为　　　　. 1.理清单 （1）分层随机抽样的定义； （2）分层随机抽样的方案设计； （3）用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数. 2.应体会 对数据进行分析、运算，用样本平均数估计总体平均数时要注意方程思想、转化与化归思想的应用. 3.避易错 在分层随机抽样中，要想每个个体被抽到的可能性相等，需进行比例分配. 提示：完成课后作业　第九章　9.1　9.1.2 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $