9.1.1 简单随机抽样(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦简单随机抽样核心知识点，从全面调查与抽样调查的概念及适用情境入手，系统梳理简单随机抽样的定义、特点及两种方法（抽签法、随机数法），最终落脚于用样本平均数估计总体平均数，构建“调查方式选择-抽样方法应用-数据估计总体”的完整学习支架。 资料以“儿子尝糖”“小球抽样”等生活化问题情境引入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过概念辨析例题（如样本与样本量的区分）培养数学抽象能力，借助样本平均数估计总体的实例（如快餐店工资数据）提升数据分析素养。课中助力教师通过情境激发兴趣，课后学生可依托规律方法总结与训练题巩固知识，查漏补缺。

9.1　随机抽样 9.1.1　简单随机抽样 知识点一 问题1　提示：全面调查；不好；抽样调查. 知识梳理 每一个　一部分　估计　推断　全体　对象　个体　个体数 知识点二 问题2　提示：方案一：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用蓝球出现的频率估计出蓝球所占的比例. 方案二：采用不放回地摸球去估计蓝球所占的比例. 知识梳理 逐个　相等　未进入样本的各个个体　放回　不放回 知识点三 问题3　提示：抽签；不可以，人数太多. 知识梳理 1.编号　逐个 知识点四 问题4　提示：可以，估计高二年级全体学生的平均身高为166.4 cm. 知识梳理 9.1　随机抽样 9.1.1　简单随机抽样 【例1】　（1）①×　②×　③×　（2）A 解析：（2）A选项，了解北京每天的流动人口数，调查范围广，应采用抽样调查，故A正确；B选项，旅客上飞机前的安检，涉及安全，事关重大，应采用全面调查，故B错误；C选项，了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，调查范围广，应采用抽样调查，故C错误；D选项，日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，由于调查具有破坏性，应采用抽样调查，故D错误. 训练1　（1）B　（2）D　解析：（1）选项A、C都是破坏性检验，不适合用全面调查的方式；选项D由于生产的饮料的容量很大，用全面调查的方式浪费人力、物力，故不适合用全面调查的方式；选项B适合用全面调查的方式. （2）据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本量是100，故只有D正确. 【例2】　（1）D　（2）A　解析：（1）选项A是普查；选项B老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”；选项C错在总体容量是无限的. （2）因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，解得N＝120. 训练2　（1）C　（2）　 解析：（1）A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B、D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样. （2）在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的，因为总体容量为21，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为. 【例3】　解：（1）利用抽签法步骤如下： 第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50； 第二步：将50个号码分别写在外观、质地均无差别的小纸片上，并揉成团，制成号签； 第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀； 第四步：从容器中逐个不放回地抽取6个号签，并记录上面的号码. 对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生. （2）利用随机数法步骤如下： 第一步：将这50名学生编号，编号为00，01，02，…，49； 第二步，准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋中.从袋中有放回地摸取两次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二次摸到的数字分别作为十、个位数，这样就生成了一个二位随机数.如果这个二位数在00～49范围内，就代表对应编号的学生被抽中，否则舍弃编号； 第三步，重复第二步，若产生的随机数重复，则剔除，继续摸球，直到选到所需的样本量； 第四步，符合条件的编号对应的学生即是参加该项活动的学生. 训练3　（1）B　（2）B　解析：（1）若要样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要将号签搅拌均匀. （2）生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的有06，35，02，35（重复），32，14.故第5个个体的编号为14. 【例4】　解：（1）这7个人8月份的平均工资是×（30 000＋4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100）＝7 500（元）. （2）计算出的平均工资不能反映打工人员当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于该平均工资，因为这7个值中有一个异常值——李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大. 训练4　（1）7　解析：因为答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人，所以答对题目的平均数是 ＝7. （2）解：样本平均数为＝ ＝10.8， 样本中午餐消费不低于12元的比例为＝0.35， 所以估计该校高一学生每天午餐的平均费用为10.8元，在高一学生中，午餐费用不低于12元的比例约为0.35. 随堂检测 1.B　当个体数和样本容量较小时适合用抽签法，排除A、D；C中，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适合. 2.B　观察选项A中的编号，有不在00～49内的数字，故排除选项A；选项C、D中都有重复的编号，故排除选项C和D.故选B. 3.③　解析：根据简单随机抽样的概念，可知简单随机抽样在总体个数不多时使用，所以适合使用简单随机抽样的是③. 4.0.6　解析：10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1.1　简单随机抽样 1.了解随机抽样的必要性和重要性（数学抽象）. 2.理解随机抽样的目的和基本要求（数学抽象）. 3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法（数学抽象）. 4.熟练掌握用样本平均数估计总体平均数的方法（数据分析）. 　　 知识点一｜全面调查和抽样调查 问题1　一天，爸爸叫儿子去买一包糖果.临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的.儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家. “糖都甜吗？”爸爸问. “都甜.” “你这么肯定？” 儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦.” 在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？ 【知识梳理】 调查方式 全面调查（普查） 抽样调查 定义 对　　　　调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取　　　　个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出　　　　和　　　　的调查方法，称为抽样调查 相关概念 总体：在一个调查中，调查对象的　　　称为总体. 个体：组成总体的每一个调查　　　　称为个体 样本：从总体中抽取的那部分　　　　称为样本. 样本量：样本中包含的　　　　称为样本容量，简称样本量 　　提醒：（1）全面调查的优点是精确，缺点是不宜经常进行，需要耗费巨大的财力、物力；（2）抽样调查的优点是花费少、效率高、易操作，缺点是不够精确. 【例1】　（1）判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）　 ①样本和样本量是同一个概念.（　　） ②为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，抽取的100名运动员是样本.（　　） ③从某市参加升学考试的学生中随机抽查500名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本量指的是500名学生.（　　） （2）下列调查方式，你认为最合适的是（　　） A.了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C.了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查 D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查 【规律方法】 1.一般地，如果调查对象比较少，容易调查，则适合普查；如果调查对象较多或者具有破坏性，则适合抽样调查. 2.应注意“总体”“个体”“样本”“样本量”四个名词的区别. 训练1　（1）下列问题可以用全面调查的方式进行调查的是（　　） A.检验一批汽车的安全性能 B.检验10件某产品的尺寸 C.检验一批钢材的抗拉强度 D.检验流水生产线上生产的饮料的容量 （2）某学校为了解高一年级800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是（　　） A.800名同学是总体 B.100名同学是样本 C.每名同学是个体 D.样本量是100 知识点二｜简单随机抽样 问题2　假设口袋中有蓝色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方式估计袋中蓝球所占的比例吗？请提出你的解决方案. 【知识梳理】 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中　　　抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都　　　，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内　　　　　　　　被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：　 　　简单随机抽样和　　 　简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 　　提醒：简单随机抽样的特点：①有限性；②逐一性；③等可能性. 【例2】　（1）下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　） A.将500个零件逐个做质量检验 B.课上，李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的学生 C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性 D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑 （2）从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N＝（　　） A.120 B.200 C.150 D.100 【规律方法】 简单随机抽样的特点 （1）被抽取的样本的总体个数N是有限的； （2）逐个抽取n个个体作为样本； （3）若不加以说明则抽取是不放回的； （4）每个个体入样的可能性均为. 训练2　（1）下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（　　） A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查 C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计 （2）炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是　　　　，“第二次被抽到”的可能性是　　　　. 知识点三｜简单随机抽样的方法 问题3　学校要从某班选取8人参加该校组织的读书活动，应如何选取？若要从全校学生中选8人，还可以采用上述方法吗？ 【知识梳理】 1.抽签法 把总体中的N个个体　　　　，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地　　　　抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数. 2.随机数法 （1）定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数； （2）产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数. 　　提醒：抽签法与随机数法的异同点：相同点：①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；②都是从总体中逐个不放回地进行抽取. 不同点：①抽签法比随机数法操作简单；②随机数法更适用于总体中个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，可以节约大量的人力和制作号签的成本. 【例3】　某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程. 【规律方法】 1.抽签法、随机数法的步骤 2.抽签法、随机数法的注意事项 （1）利用抽签法抽取样本时，号签的大小、形状要相同，必须“搅拌均匀”，已抽取号签不能放回； （2）利用随机数法抽取样本时，如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，要剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个数. 训练3　（1）抽签法确保样本具有代表性的关键是（　　） A.制签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取 D.抽取不放回 （2）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（　　） 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 A.54 B.14 C.35 D.32 知识点四｜用样本平均数估计总体平均数 问题4　用随机数法从某中学高二年级抽取一个容量为60的样本，测量这60名学生的身高，通过这些数据，我们可以计算出样本的平均数为166.4，据此，我们可以估计高二年级全体学生的平均身高吗？ 【知识梳理】 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝　　　　　　　　＝Yi为总体均值，又称总体平均数.如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数. 　　提醒：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi.　 【例4】　个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有7位工作人员8月份的工资表（单位：元）： 李某 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 30 000 4 500 3 500 4 000 3 200 3 200 4 100 （1）计算所有7位工作人员8月份的平均工资； （2）计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？ 【规律方法】 样本平均数与总体平均数的关系 （1）在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； （2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性； （3）一般情况下，样本容量越大，估计值越准确. 训练4　（1）某校组织了一次知识竞赛.在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答题情况如下：答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人，则可以估计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数为　　　　； （2）为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，通过简单随机抽样从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下（单位：元）： 10　12　8　8　10　14　17　8　10　8　12 10　10　17　8　10　12　10　10　12 试估计该校高一学生每天午餐的平均费用以及午餐费用不低于12元的比例. 1.下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　） A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验 2.为了大致了解某公司员工的身高情况，决定从50名员工（已编号为00～49）中选取10名进行测量.如果利用随机数法进行抽取，得到如下4组编号，则符合要求的编号是（　　） A.26，94，29，27，43，99，55，19，81，06 B.20，26，31，40，24，36，19，34，03，48 C.02，38，22，41，38，24，49，44，03，11 D.04，00，45，32，44，22，04，11，08，49 3.以下问题中，适合使用简单随机抽样的是　　　　.（填写编号） ①某市人均寿命调查；②某校高一年级学生体能素质调查；③30个灯泡的使用寿命调查. 4.通过简单随机抽样从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数：4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营中学员投篮投中的比例为　　　　. 1.理清单 （1）全面调查和抽样调查； （2）简单随机抽样； （3）简单随机抽样的方法； （4）用样本平均数估计总体平均数. 2.应体会 数据分析. 3.避易错 在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性相等. 提示：完成课后作业　第九章　9.1　9.1.1 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $