8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦平面与平面垂直的性质定理，通过问题情境引入，系统梳理定理的文字、符号及图形语言，构建从面面垂直到线面垂直的转化支架，并结合正三棱柱、四棱锥等实例，形成“定理理解-例题示范-综合应用”的学习脉络。 资料以问题驱动培养直观想象，如“黑板与地面垂直画垂线”引导学生发现定理条件，通过折叠问题等训练强化逻辑推理，注重垂直关系转化的化归思想。课中助力教师高效授课，课后分层训练与知识清单帮助学生查漏补缺，巩固核心素养。

第二课时　平面与平面垂直的性质 掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题（直观想象、逻辑推理）. 　　 知识点一｜平面与平面垂直的性质定理 问题　（1）黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ （2）如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？ 【知识梳理】 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的　　　　，那么这条直线与另一个平面　　　　 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，　　　，　　　⇒a⊥β 图形语言 　　提醒：（1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直，进而再转化为线线垂直. 【例1】　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CF＝1.求证：EF⊥A1C. 【规律方法】 应用面面垂直的性质定理的策略 　　提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 训练1　（2025·信阳月考）如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点. 求证：（1）PE⊥平面ABCD； （2）平面PBE⊥平面ABCD. 知识点二｜垂直关系的相互转化 【例2】　〔多选〕若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C.若m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β D.若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ 【规律方法】 垂直关系的转化 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下： 训练2　已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： ①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.其中正确的命题为（　　） A.①② B.③ C.②③ D.①②③ 提能点｜空间垂直关系的综合应用 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点. 求证：（1）PA⊥底面ABCD； （2）平面BEF⊥平面PCD. 【规律方法】 1.熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路. 2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明. 训练3　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 求证：（1）CD⊥平面PBD； （2）平面PBC⊥平面PCD. 1.已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是（　　） A.l∥β或l⊂β B.l∥m C.m⊥α D.l⊥m 2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（　　） A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直 3.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝　　　　. 4.如图， 在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平 面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 1.理清单 （1）平面与平面垂直的性质定理； （2）垂直关系的相互转化； （3）空间垂直关系的综合运用. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 利用面面垂直证明线面垂直时条件罗列不全. 提示：完成课后作业　第八章　8.6　8.6.3　第二课时 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　平面与平面垂直的性质 知识点一 问题　（1）提示：找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面. （2）提示：正确. 知识梳理 交线　垂直　a⊂α　a⊥l 第二课时　平面与平面垂直的性质 【例1】　证明：过点E作EN⊥AC于点N，连接NF，AC1，如图， 由正三棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面A1ACC1，且平面ABC∩平面A1ACC1＝AC，EN⊂平面ABC，所以EN⊥平面A1ACC1， 又因为A1C⊂平面A1ACC1，所以EN⊥A1C， 因为E为等边△ABC的边BC的中点， 所以CE＝2，在Rt△CNE中，CN＝CE·cos 60°＝2×＝1，则＝＝，所以NF∥AC1， 又在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，因为NF∩EN＝N，NF，EN⊂平面EFN， 所以A1C⊥平面EFN，所以EF⊥A1C. 训练1　证明：（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD. （2）由（1）知PE⊥平面ABCD，又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.　 【例2】　CD　由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因为m⊂α，且m⊥β，根据面面垂直的判定定理，α⊥β，所以C正确；对于D显然正确.故选C、D. 训练2　B　对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确. 【例3】　证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD. （2）由题意知四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥底面ABCD，又CD⊂底面ABCD， 所以PA⊥CD. 又AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF. 又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 训练3　证明：（1）因为AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°.又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD. 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面PBD. （2）由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以BP⊥平面PCD. 又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD. 随堂检测 1.A　由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l⊂β，A成立；m与α不一定垂直，C不成立；l与m平行、相交、异面都可能，所以B、D不成立. 2.C　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C. 3.　解析：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝. 4.证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊂平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $