8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦直线与平面垂直的判定，系统梳理直线与平面垂直的定义（通过旗杆影子问题引入，强调垂直于平面内任意直线）、判定定理（结合翻折纸片实验，突出垂直于平面内两条相交直线）及直线与平面所成的角（以直尺与桌面关系定义斜线、射影及角的范围），构建从概念到判定再到应用的学习支架。 资料以问题链驱动学习，如旗杆影子、翻折纸片等生活实例培养直观想象（数学眼光），通过定理证明（例2）和逻辑推理（训练2正方体证明）发展逻辑推理（数学思维），符号与图形语言结合强化数学表达（数学语言）。课中助力教师引导探究，课后练习帮助学生巩固，查漏补缺。

第一课时　直线与平面垂直的判定 1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念（直观想象、数学抽象）. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直（逻辑推理）. 　　 知识点一｜直线与平面垂直 问题1　（1）如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在的直线AB与其影子BC所在直线的位置关系如何？ （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 【知识梳理】 1.定义：一般地，如果直线l与平面α内的　　　　　　　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作　　　　. 2.相关概念 垂线 直线l叫做平面α的垂线 垂面 平面α叫做直线l的垂面 垂足 直线与平面唯一的公共点 垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段 点到平面的距离 垂线段的长度 【例1】　下列结论中正确的个数为（　　） ①直线l与平面α垂直是直线与平面相交的一种特殊情况；②如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；③如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 【规律方法】 1.直线与平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线. 2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 训练1　〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α 知识点二｜直线与平面垂直的判定定理 问题2　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 【知识梳理】 文字语言 如果一条直线与一个平面内的　　　　　　　　垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，　　　　＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 　　提醒：（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可. 【例2】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC. 变式　在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？ 【规律方法】 证明线面垂直的方法 （1）由线线垂直证明线面垂直： ①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直. （2）平行转化法（利用推论）： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 训练2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 知识点三｜直线与平面所成的角 问题3　当一个直尺一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，直尺和桌面所成的角逐渐增大，观察思考直尺和桌面所成的角怎样定义？ 【知识梳理】 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面　　　　　，但不与这个平面　　　　，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中　　　　 斜足 斜线和平面的　　　　，如图中　　　　 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引　　　　，过　　　　和　　　　的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为　　　　 直线与平面所 成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中　　　　； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是　　　　；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是　　　　 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则　　　　　　　　 　　提醒：（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段. 【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； （2）求A1B与平面BB1D1D所成角的大小. 变式　例3条件不变，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 【规律方法】 求直线与平面所成的角的步骤 训练3　如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝.求OA与平面α所成的角的大小. 1.直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角为（　　） A.40° B.50° C.90° D.150° 2.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直 B.过平面外一点有无数条直线与平面所成的角为30° C.一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直 D.一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直 3.（2025·温州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为　　　　. 4.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面ABC，且AB＝1， AA'＝2， 求直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值. 1.理清单 （1）直线与平面垂直； （2）直线与平面垂直的判定定理； （3）直线与平面所成的角. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 易忽视线面垂直判定定理中平面内两直线“相交”这一条件. 提示：完成课后作业　第八章　8.6　8.6.2　第一课时 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的判定 知识点一 问题1　（1）提示：始终保持垂直. （2）提示：可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 知识梳理 1.任意一条　l⊥α 知识点二 问题2　提示：不一定.折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直. 知识梳理 两条相交直线　m∩n 知识点三 问题3　提示：直尺和它在桌面上的射影所成的角. 知识梳理 相交　垂直　直线PA　交点　点A　垂线　垂足　斜足　直线AO　∠PAO　90°　0°　0°≤θ≤90° 8.6.2　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的判定 【例1】　D 训练1　AC　由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，故D错误. 【例2】　证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， ∴SD⊥平面ABC. 变式　解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点， ∴BD⊥AC. 由例题知SD⊥BD，又AC∩SD＝D，AC，SD⊂平面SAC， 故BD⊥平面SAC. 训练2　证明：法一　∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M（图略），则A1O＝，OM＝，A1M＝3， ∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，BD，OM⊂平面MBD，∴A1O⊥平面MBD. 法二　连接A1B，A1D，OM（图略）. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B＝A1D，O为BD的中点，∴A1O⊥BD. 令正方体的棱长为2，在Rt△A1AO和Rt△OCM中，tan∠AA1O＝＝，tan∠COM＝＝，故∠AA1O＝∠COM，∴∠AOA1＋∠COM＝90°，∴∠A1OM＝90°， ∴A1O⊥OM，∵BD∩OM＝O，BD⊂平面MBD，OM⊂平面MBD，∴A1O⊥平面MBD. 【例3】　解：（1）∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成角的大小是45°. （2）如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝＝， 又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成角的大小是30°. 变式　解：如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O1，连接A1O1. 设正方体的棱长为a.因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1. 又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1， A1B1，B1C⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1，所以A1O1为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O1为A1B和平面A1DCB1所成的角. 在Rt△A1BO1中，A1B＝a，BO1＝a，所以BO1＝A1B.所以∠BA1O1＝30°，所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 训练3　解：∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB，△AOC为正三角形，∴AB＝AC＝1，又BC＝，∴△BAC为等腰直角三角形. ∵OB＝OC＝1，BC＝， ∴△BOC为等腰三角形. 如图，取BC的点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，AH＝OH＝，∴AH⊥OH，又BC∩OH＝H，BC，OH⊂平面α， ∴AH⊥平面α，∠AOH为OA与α所成的角. ∴在Rt△AOH中，AH＝OH， ∴∠AOH＝45°，即OA与平面α所成的角的大小为45°. 随堂检测 1.B　若两条直线平行，则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B. 2.BCD 3.4　解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形. 4.解：如图所示，取A'B'的中点D，连接C'D，BD. 因为底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.因为AA'⊥底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D. 又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B'⊂平面ABB'A'，所以C'D⊥平面ABB'A'， 所以∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角. 因为等边三角形A'B'C'的边长为1，所以C'D＝.在Rt△BB'C'中，BC'＝＝， 所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 ＝. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $